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四川大学微积分函数课件2024-01-24REPORTING2023WORKSUMMARY

目录CATALOGUE微积分函数基本概念微分学基础积分学基础微分中值定理及其应用多元函数微积分简介无穷级数初步认识

PART01微积分函数基本概念

函数定义设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的任意一个数x，变量y按照一定的对应法则总有一个确定的数值与之对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)，x∈D。其中x称为自变量，y称为因变量，D称为函数的定义域，对应法则称为函数关系。函数的性质包括有界性、单调性、奇偶性、周期性等。这些性质反映了函数在不同区间内的变化趋势和特征。函数定义与性质

极限是微积分学中的基本概念，它描述了一个函数在某一点或无穷远处的行为。如果函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义，当x无限趋近于x0（或x的绝对值无限增大）时，函数值f(x)无限趋近于一个确定的常数A，则称A为函数f(x)当x→x0（或x→∞）时的极限。极限定义包括极限的四则运算法则、夹逼定理、单调有界定理等。这些法则和定理为求解函数的极限提供了有效的方法。极限运算极限概念及运算

连续性与可导性连续性函数在某一点连续是指函数在该点的极限值等于函数值，且函数在该点有定义。如果函数在其定义域内的每一点都连续，则称该函数为连续函数。可导性函数在某一点可导是指函数在该点的导数存在。导数描述了函数值随自变量变化而变化的速率。如果函数在其定义域内的每一点都可导，则称该函数为可导函数。

PART02微分学基础

导数的定义通过极限思想，给出了函数在某一点处的切线斜率，即函数在该点的变化率。导数的计算利用导数的定义，结合极限的运算法则，可以求出一些基本初等函数在任意点处的导数。导数的几何意义导数在几何上表示曲线在某一点处的切线斜率，反映了函数在该点的局部变化特征。导数定义与计算

微分的计算通过导数与微分的关系，可以求出函数在某一点处的微分，进而得到函数的微分表达式。微分的应用微分在解决实际问题中有着广泛的应用，如求曲线的切线方程、法线方程、弧长、面积等。微分的定义微分是函数在某一点处的局部线性逼近，即用一个线性函数近似代替原函数在该点的局部性质。微分概念及应用

高阶导数与隐函数求导高阶导数是指对函数进行多次求导得到的导数，反映了函数更高层次的变化特征。通过归纳法或莱布尼兹公式可以求出高阶导数。高阶导数隐函数是指不能直接解出因变量的函数关系式，需要通过对方程两边同时求导来得到因变量对自变量的导数。隐函数求导的关键是正确应用复合函数的求导法则和链式法则。隐函数求导

PART03积分学基础

通过分割、近似、求和、取极限的方法，将曲边梯形的面积转化为定积分的计算。定积分的定义包括可加性、保号性、绝对值不等式、估值定理等，这些性质在定积分的计算和应用中起到重要作用。定积分的性质建立了定积分与原函数之间的联系，使得定积分的计算可以通过求原函数的方法来实现。微积分基本定理010203定积分概念及性质

直接积分法对于基本初等函数，可以直接套用积分公式进行求解。换元法通过变量代换，将复杂的不定积分转化为简单的不定积分进行计算。分部积分法对于两个函数的乘积的不定积分，可以通过分部积分公式进行求解。不定积分求解方法

广义积分的性质包括收敛性、绝对收敛与条件收敛等，这些性质在判断广义积分的敛散性时起到重要作用。含参变量积分的性质包括连续性、可微性、可积性等，这些性质在含参变量积分的计算和应用中起到重要作用。含参变量积分的概念当积分号下含有参数时，称该积分为含参变量积分。它在解决一些实际问题时具有重要作用。广义积分的概念包括无穷限广义积分和无界函数广义积分，它们在实际问题中有着广泛的应用。广义积分与含参变量积分

PART04微分中值定理及其应用

微分中值定理概述01微分中值定理是微积分学中的基本定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理等。02这些定理在解决函数性质、不等式证明和函数图像描绘等问题中具有重要作用。通过微分中值定理，可以揭示函数在区间内的整体性质与局部性质之间的联系。03

洛必达法则与泰勒公式洛必达法则是求解未定式极限的一种有效方法，通过分子分母分别求导来简化极限计算。泰勒公式是用多项式逼近光滑函数的重要工具，它将一个函数表示为一个无穷级数的形式。洛必达法则与泰勒公式在微积分学中占有重要地位，对于理解函数的性质和进行数值计算具有重要意义。

函数单调性与极值判断01函数单调性描述了函数在某个区间内增减的性质，可以通过求导来判断。02函数极值是指在某个区间内函数取得的最大值或最小值，可以通过一阶和二阶导数测试来判断。03掌握函数单调性和极值判断的方法对于理解函数的形态和性质以及解决实际应用问题具有重要意义。

PART05多元函数微积分简介

多元函数定义设D为一个非