立体几何证明方法汇总.docx

①中 位 线 定 理

EH

E

H_

G_

D_

例题：已知如图：平行四边形ABCD中，BC?6，正方形

ADEF

所在平面与平面ABCD垂直，G，H分别是DF，BE的中点．

A_

（１）求证：GH∥平面CDE；

_C _B

2（２）若CD?2,DB?4

2

，求四棱锥F-ABCD的体积．

练习：1、如下图所示：在直三棱柱ABC—ABC

中，AC=3，BC=4，AB=5，AA

=4，

点D是AB的中点。

求证：AC∥平面CDB；

1 1

111

1

B1DED

B1

D

E

如图，ABCD?ABCD

1 1 1 1

是正四棱柱侧棱长为1，底面边

A1

A

长为2，E是棱BC的中点。（1）求证：BD

1

求三棱锥D?DBC的体积.

1

//平面C

1

DE；（2） C

A B

3、如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD?底面ABCD，PD?4,DC?3，E是PC的中点。

证明：PA//平面BDE；

求?PAD以PA为轴旋转所围成的几何体体积。

例2、如图,在矩形ABCD中,AB?2BC , P,Q分别为线段AB,CD的中点,EP

⊥平面ABCD.求证:AQ∥平面CEP；（利用平行四边形）

练习：①如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，E、F分别是AB、PD的中

P

点。求证：AF∥平面PCE；

F

②如图，已知P是矩形ABCD所在平面外一点，PD?平面ABCD，M，N G

分别是AB，PC中点。求证：MN//平面PAD

③如图，已知AB平面ACD，DE求证：AFABCD

OABCD

证：C

O// A D

1E E

1

E E

11面ABD． B B C

1

1

A

C F D

③比例关系

例题3、P是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是PB、BC上的点，且BM?BN,

求证

求

证

：

E

F

A

D

B

M

C

MNABCDEA?ABCDEF//ABAB=4,AE=2,EF=1Ⅱ）若点M在线段AC上，且满足

CM?

1CA,求证：EM//平面FBC；

4

例题4

例题4、如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平

D

C

1

面

互

相

垂

直

，

A

C

A

1

B

1

B

F

E

E

C

G

F

A

B

3BE? ? 90? P?ABCD ABCD PD? ABCD PD?AB?2 E F G PC PD BC

3

PA//面EFGP?EFGABC?ABC

?ACB?900E,F,GAA,AC,BB

CG?CG

1 1 1 1 1 1

(Ⅰ)求证：CG//平面BEF；

3、如图所示,正方形ADEF 与梯形ABCD所在的平面互相垂直,

确定M点的位置,并给出证明．E4、（2012山东文）如图，几何体E?ABCD是四棱锥，△ABDFMDNCABAD?CD,AB//CD,CD?2AB

确定M点的位置,并给出证明．

E

4、（2012山东文）如图，几何体E?ABCD是四棱锥，△ABD

F

M

D

N

C

A

B

为正三角形，CB?CD,EC?BD.(Ⅰ)求证：BE?DE；

(Ⅱ)若∠BCD?120?，M为线段AE的中点，

求证：DM∥平面BEC.

例题：如图，已知四棱锥P?ABCD。若底面ABCD为平行四边形，E为PC的中点，在DE上取点F，过AP和点F的平面与平面BDE的交线为FG，求证：AP//FG。

证明：连AC与BD，设交点为O，连OE。

练习：1、如图，在四棱锥P?ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，?BAD?60?，N是PB中点，过A、

N、D三点的平面交PC于M．求证：AD//MN； P

2、（2012浙江高考）如图，在侧棱锥垂直底面 M

D C

的四棱锥ABCD-ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，

1111 N

AAB= 2。AD=2，BC=4,AA=2，E是DD的中点，

A

1 1 B

F是平

面BC