立体几何大题—利用等体积解题.docx

立体几何大题中有关体积的求法

1、求空间距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点

2、求点到平面的距离通常有四种方法

(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离(3)体积法

向量法

例题分析：

例1、如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PA⊥平面ABCD，PA=2c,Q是PA的中点求 (1)Q到BD的距离；

PQAD(2)P到平面BQD

P

Q

A

D

B

C

例2、如图，在棱长为2的正方体AC中，G是AA的中点，求BD到平面GBD的距离.

1 1 1 1

D1 C

O 1

1

BA

B

1

1

H

G

D C

O

A B

例3、已知正四棱柱ABCD—ABCD，点E在棱DD上，截面EAC∥DB且面EAC与底面ABCD所成的角

1111 1 1

为45°,AB=a,求

截面EAC的面积；

异面直线AB与AC之间的距离；

11 D C

三棱锥B—EAC的体积

1

1 1

1A1 B

1

E

C

D

A B

参考答案：

例1、如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PA⊥平面ABCD，PA=2c,Q是PA的中点求 (1)Q到BD的距离；

(2)P到平面BQD的距离

解 (1)在矩形ABCD中，作AE⊥BD，E为垂足连结QE，

∵QA⊥平面ABCD，由三垂线定理得QE⊥BE

∴QE的长为Q到BD的距离在矩形ABCD中，AB=a,AD=b,

ab

a2?

a2?b2

1

在Rt△QAE中，QA=2PA=c

P

Q

H D

B A E

C

c2

c2? a2b2

a2?b2

c2? a

c2? a2b2

a2?b2

(2)解法一 ∵平面BQD经过线段PA的中点，

∴P到平面BQD的距离等于A到平面BQD的距离在△AQE中，作AH⊥QE，H为垂足

∵BD⊥AE,BD⊥QE,∴BD⊥平面AQE ∴BD⊥AH

a2?b2∴AH⊥平面BQE，即AH为A到平面BQD的距离在Rt△AQE中，∵AQ=c

a2?b2

(a2?

(a2?b2)c2?a2b2

(a2?b2)c

(a2?b2)c2?a2b2

解法二 设点A到平面QBD的距离为h，由

V =V

,得1S△

h=1S

AQ

A—BQD Q—ABD 3

S ?AQ

BQD

3 △ABD

(a

(a2?b2)c2?a2b2

h= ?ABD

S

?BQD

???

例2．如图，在棱长为2的正方体AC

1

中，G是AA

1

的中点，求BD到平面GBD

1 1

的距离.

C思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解. D

C

1

解答过程： O1 1

A B

解析一?BD∥平面GBD， 1 1

1 1 H

?BD上任意一点到平面GBD

1 1

的距离皆为所求，以下求 G

D C

点O平面GBD

1 1

的距离, O

A B

?BD ?AC，BD ?AA，?BD ?平面AACC,

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

又?BD

1 1

?平面GBD

1 1

?平面A

1

ACC

1

?GBD

1 1

，两个平面的交线是OG,

1

作OH?OG于H，则有OH?平面GBD

，即OH是O点到平面GBD

的距离.

1 1 1 1 1

22在?OOG中，S ?1?OO?AO?1?2? ? .

2

2

1 ?O1OG 2 1 2

63又S ?1?OH?OG?1?

6

3

OH? 2,?OH?2 .

?O1OG 2

1 2 3

即BD到平面GBD

1 1

2

6的距离等于 .

6

3

解析二?BD∥平面GBD，

1 1

?BD上任意一点到平面GBD

1 1

的距离皆为所求，以下求点B平面GBD

1 1

的距离.

设点B到平面GBD

1 1

的距离为h，将它视为三棱锥B?GBD

1 1

的高，则

V ?V

,由于S

?1?2 ?

V ?1?1?2?2?2?4 ,

23B?GBD

2

3

D?GBB

?GBD 2

D?GBB

3 2 3

? 6，11 1 1 11 1 1

? 6，

66?h?