【导数】命题人角度导数中的不等式证明公开课教案教学设计课件资料.docx

【导数】命题人五xx导数中的不等式证明

导数中不等式的证明是历年的高考中是一个永恒的话题，由于不等式证明的灵活性，多样性，该考点也备受命题者的青睐。本文通过五个方面系统介绍了一些常规的不等式证明的手段

命题人角度1构造函数

命题人角度2放缩法

命题人角度3切线法

命题人角度4二元或多元不等式的证明思路

命题人角度5函数凹凸性的应用

命题人角度1构造函数

【典例1】（赣州市2018届高三摸底考试）已知函数，若曲线与曲线的一个公共点是，且在点处的切线互相垂直．

（1）求的值；

（2）证明：当时，．

【解析】（1）；

（2），，

令，则关注公众号：Hi数学派

，

，

因为，所以，

所以在单调递增，，即，

所以当时，．

【审题点津】待证不等式的两边都含有同一个变量，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，应用导数研究其单调性，借助于所构造函数的单调性加以证明.

命题人角度2放缩法

【典例2】（石家庄市2018届高三下学期4月一模考试）已知函数，在处的切线方程为.

（1）求；

（2）若，证明：.

【解析】（1），；

（2）由（1）可知，，

由，可得，

令，则，

当时，，

当时，设，则，

故函数在上单调递增，关注公众号：Hi数学派

又，所以当时，，当时，，

所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

故，即.

故.

【方法归纳】函数解析式中含有已知范围的参数，可以考虑借助于常识或已知的范围减少变量，对参数适当放缩达到证明的目标.

命题人角度3切线法

【典例3】（2018届安徽省太和中学三模）已知函数.

（1）求曲线在处的切线方程；

（2）求证：当时，.

【解析】（1），，

由题设得，

所以曲线在处的切线方程为，即；

（2）令，则，

当时，，当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

，关注公众号：Hi数学派

所以函数在上单调递增，

由于曲线在处的切线方程为，，可猜测函数的图象恒在切线的上方.

先证明当时，.

设，则，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

由，所以，

所以存在，使得，

所以当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

因为，所以，即，当且仅当时取等号，

所以当时，，关注公众号：Hi数学派

变形可得，

又由于，当且仅当时取等号（证明略），

所以，当且仅当时取等号.

【审题点津】切线放缩法值得认真探究，若第一小题是求曲线的切线方程，就要注意是否运用切线放缩法进行放缩解决问题.

命题人角度4二元或多元不等式的解证思路

【典例4】（皖南八校2018届高三第三次联考）若均为任意实数，且，则的最小值为

【解析】由于均为任意实数，且，所以动点到定点的距离为定值1，亦即动点的轨迹是以关注公众号：Hi数学派

为圆心，半径的圆，

又表示与动点

的距离，而的轨迹是曲线

，关注公众号：Hi数学派

如图，，当且仅当共线，

且点在线段上时取等号，以为圆心作半径为的圆

与相切，切点是，此时的公切线与半径

垂直，，即，结合函数

与的图象可知，所以，

故的最小值为.正确答案为D.

【审题点津】多元代数表达式的最值问题要根据其整体的结构特征，结合多元各自变化的规律，转化为多个动点之间的对应关系，进而化“动”为“静”解决问题.

命题人角度5函数凹凸性的应用

【典例5】（2018届合肥三模）已知函数有零点，函数有零点，且，则实数的取值范围是

【解析】

思路1：因为，如图所示，

结合函数图象，则，

，

若，则，不适合题意，则；当时，，所以，即，

所以实数的取值范围是.正确答案为C.关注公众号：Hi数学派

【评注】同理，，，所以，

故，即，所以实数的取值范围是.

思路2：因为函数有零点，所以的解分别为，

因为函数有零点，所以的解分别为，

令，＝1\*GB3①若，如图，总有，不适合题意；

＝2\*GB3②若，如图，总有，欲使，亦即，

所以，即，

两边平方，化简可得，所以.关注公众号：Hi数学派

所以实数的取值范围是.正确答案为C

.

思路3：因为函数有零点，

所以的解分别为，

因为函数有零点，

所以的解分别为，

令，两个函数的交点的坐标分别为，如图所示，结合函数图象，欲使，则，所以实数的取值范围是.正确答案为C.

思路4：（特例法）令，则函数有零点，函数有零点，此时满足，因此排除B；关注公众