立体几何中的折叠、最值、取值范围问题——综合能力提升篇.docx

课题 立体几何中的折叠、最值、取值范围问题

——综合能力提升篇

立体几何章节在历来的高考中分值占比重，以两小一大的形式出现较多．空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力．要在立体几何学习中形成．纵观近几年全国及各省高考试题，对立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题的考查逐年加重，要求学生要有较强的空间想象力和准确的计算运算能力，才能顺利解答．从实际教学和考试来看，学生对这类题看到就头疼．分析原因，首先是学生的空间想象力较弱，其次是学生对这类问题没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．本文就高中阶段学习和考试出现这类问题加以总结的探讨．

题型一：立体几何中的折叠问题

题型一：立体几何中的折叠问题

折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的

集中体现．处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系．并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化．这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据．而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，一般地，涉及到多面体表面的问题，解题时不妨将它展开成平面图形试一试．

1．如图1，在等腰梯形CDEF中，DE＝CD＝ 2，EF＝2＋ 2，将它沿着两条高AD，CB折叠成如图2

所示的四棱锥E－ABCD(E，F重合)．

求证：BE⊥DE；

设点M为线段AB的中点，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．

【解析】(1)证明：∵AD⊥EF，∴AD⊥AE，AD⊥AB．又∵AB∩AE＝A，

∴AD⊥平面ABE，∴AD⊥BE．由图1和题中所给条件知，AE＝BE＝1，AB＝CD＝ 2，

∴AE2＋BE2＝AB2，即AE⊥BE．又∵AE∩AD＝A，

∴BE⊥平面ADE，∴BE⊥DE．

(2)取EC的中点G，BE的中点P，连接PM，PG，MG

(2)取EC的中点G，BE的中点P，连接PM，PG，MG．

则MP∥AE，GP∥CB∥DA，∴MP∥平面DAE，GP∥平面DAE．

∵MP∩GP＝P，∴平面MPG∥平面DAE．

2．(2015四川卷)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设

BC的中点为M，GH的中点为N．

请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；

(3)求二面角AEGM的余弦值．证明：直线MN∥

(3)求二面角AEGM的余弦值．

【解析】(1)点F，G，H的位置如图所示．

证明：连接AC，BD交于点O，连接OH，OM．因为M，N分别是BC，GH的中点，

1 1

所以OM∥CD，且OM＝CD，HN∥CD，且HN＝CD，

2 2

所以OM∥HN，OM＝HN，

所以四边形MNHO是平行四边形，从而MN∥OH．

又MN?平面BDH，OH?平面BDH，

所以MN∥平面BDH．

方法一：过M作MP⊥AC于P．在正方体ABCDEFGH中，AC∥EG，所以MP⊥EG．过P作PK⊥EG于K，连接KM，所以EG⊥平面PKM，

从而KM⊥EG，所以∠PKM是二面角AEGM的平面角．设AD＝2，则CM＝1，PK＝2．

2

在Rt△CMP中，PM＝CMsin45°＝2．

在Rt△PKM中，KM＝PK

在Rt△PKM中，KM＝

PK2＋PM2＝

3 2

2

．

所以cos∠PKM＝PK＝

2

2

KM

3

，即二面角A-EG-M的余弦值为

2

2

3

．

方法二：如图，以D为坐标原点，分别以D→A，D→C，D→H方向为x轴，y

设AD＝2，则M(1，2，0)，G(0，2，2)，E(2，0，2)，O(1，1，0)，所以G→E＝(2，－2，0)，M→G＝(－1，0，2)．

1设平面EGM的一个法向量为n＝(x，y，z)，

1

??n

G→E＝0， ??2x－2y＝0，

由?1

得? 取x＝2，得n

＝(2，2，1)．

??n

M→G＝0，

??－x＋2z＝0， 1

1

在正方体ABCD-EFGH中，DO⊥平面AEGC，

则可取平面AEG的一个法向量为n＝D→O＝(1，1，0)，

2

n·n

2＋2＋0 2 2

所以cos〈n，n〉＝ 1 2 ＝ ＝ ，

1 2 |n1|·|n2| 4＋4＋1· 1＋1＋0 3

2 2

故二面角A-EG-M的余弦值为3 ．

题型二、立体几何中的最值问题结合近年来全国各省市的高考中，考查与空间图形有关的线段、角、距离、面积、