立体几何找点难.docx

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立体几何（向量法）—找点难（列方程）

例1（2012高考真题福建理18）如图1－3，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，

AA1＝AD＝1，E为CD中点．(1)求证：B1E⊥AD1；

在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；

若二面角A－B1E－A1的大小为30°，求AB的长．

图1－3

1【答案】解：(1)以A为原点，A→B，A→D，A→A

1

的方向分别为x轴，y轴，z轴

的正方向建立空间直角坐标系 (如图)．设 AB＝a，则 A(0,0,0)，D(0,1,0)，

?a ?

* ? a ? →

D1(0,1,1)，E? ，1，0?，B1(a,0,1)，故AD1＝(0,1,1)，B1E＝?－ ，1，－1?，AB1

?2 ? ? 2 ?

? ? ? ?

2??* ?a ?

2

?

?

＝(a,0,1)，AE＝? ，1，0?.

? ?

∵A→D·B→E a

1 1＝－2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，

∴B1E⊥AD1.

假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，

使得DP∥平面BAE.此时D→P＝(0，－1，z)．

1 0

又设平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)．

∵n⊥平面B

AE，∴n⊥A→B

??ax＋z＝0，

，n⊥A→E，得?ax

1 1 ??

?

2＋y＝0.

a ?

取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝?1，－ ，－a?.

? 2 ?

要使DP∥平面B

AE，只要n⊥D→P

? ?

a 1

az z

1 ，有 － 0＝0，解得 0＝ .

2 2

1

又DP 平面B1AE，∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝2.

连接A1D，B1C，由长方体ABCD－A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1

⊥A1D.

∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C.

又由(1)知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，

∴AD

⊥平面 DCBA.∴A→D是平面 ABE的一个法向量，此时 A→D＝

1

(0,1,1)．

1 1 1 1 1 1

1设A→D与n所成的角为θ，

1

a

则cosθ＝

n·A→D

1＝

1

- －a

2

.

1|n||A→D|

1

a2

2 1＋4＋a2

∵二面角A－B1E－A1的大小为30°，

∴|cosθ|＝cos30°，即

2

解得a＝2，即AB的长为2.

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3a

2 3

25a＝2，

2

1＋4

例2（2012高考真题北京理16）（本小题共14分）

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE

∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如图2.(I)求证：A1C⊥平面BCDE；

若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；

线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由

【答案】解： （1） CD?DE，AE?DE

1

?DE?平面ACD，

1

又 AC?平面ACD，

1 1

?A1C?DE

又AC?CD，

1

?AC?平面BCDE。

1

（2）如图建系C?xyz，则D??2，0，0?，A?0，0，23?，B?0，3，0?，E??2，2，0?

∴AB??0，3，?23?,AE???2，?1，0?

1 1

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设平面ABE法向量为n??x，y，z?

1

3zA

3

z

A1(0,0,23)

M

z? y

则??AB?n?0

∴??3y?2 3z?0 ∴? 2

?1 ??2x?y?0 ?

??AE?n?0 ??

?x??y

∴ ? ?又∵M??1，

∴ ? ?

又∵M??1，0，3?

∴CM???1，0，3?

∴cos?? CM?n ? 1?3 ? 4 ? 2

|CM|?|n| 1?4?3? 1?3 2?2 2 2

∴CM与平面ABE所成角的大小45?。

（3）设线段BC上存在点P，设P点坐标为?0，a，0?，则则AP??0，a，?2 3?，DP??2，a，0?

设平面ADP法向量为n??x，y，