河北省张家口市尚义县第一中学等校2023-2024学年高三下学期开学收心联考数学试题.docxVIP

2023—2024学年第二学期高三年级收心考试

数学

考试说明：1.本试卷共150分.考试时间120分钟.

2.请将各题答案填在答题卡上.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，，则（）

A. B. C. D.

2.已知复数，则为（）

A.i B. C.7 D.1

3.已知，是第四象限角，则（）

A. B. C. D.

4.已知平面向量，.若，则（）

A.或1 B. C.1 D.

5.“”是“直线与曲线相切”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

6.已知，分别为双曲线的上、下焦点，过作与轴平行的直线分别交双曲线的渐近线于，两点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为（）

A. B. C. D.

7.若是函数的一个极值点，是函数的一个零点，则（）

A.4 B.3 C.2 D.1

8.已知直三棱柱的各顶点都在同一个球面上，，，，，的中点分别为，，则直线被该球面截得的弦长为（）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知数列是公比大于1的等比数列，下面叙述正确的是（）

A.当时，数列是递增数列 B.当时，数列是递减数列

C.当时，数列是递增数列 D.当时，数列是递减数列

10.若四面体的三组对棱分别相等，即，，，则（）

A.四面体每组对棱互相垂直

B.四面体每个面的面积相等

C.从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°

D.连接四面体每组对棱中点的线段互相垂直平分

11.已知函数，则（）

A.的图象关于对称 B.的图象关于直线对称

C.的最大值是3 D.的最小值是

12.已知，，且，则（）

A. B. C. D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.的二项展开式中，的系数与的系数之差为______.

14.若函数是上的偶函数，则实数______.

15.已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切，则圆的方程为______.

16.为了筛查出人群中感染某种病毒的个体，需要检测每个人的某种生物样本，检测结果若为阴性，说明人体未被感染，若为阳性，则需进一步做出医学判断.为提高检测效率，降低检测成本，可采用10人一组的混采检测方法：将10人的该种生物样本合入同一管中进行检测，若该管结果为阴性，则判断这10人均未被感染，若结果为阳性，则对该管中的每个人的样本分别进行单管检测.若按此方法进行检测，设待检人数为，其中感染该病毒的人数为.当时，检测的次数为______；当时，检测次数的估计值为______（结果取整数）.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本题满分10分）

记的内角，，的对边分别为，，，已知，.

（1）求；

（2）若，求的面积.

18.（本题满分12分）

为了研究体育锻炼对某年龄段的人患某种慢性病的影响，某人随机走访了200个该年龄段的人，得到的数据如下：

慢性病

体育锻炼

合计

经常

不经常

未患病

100

70

170

患病

10

20

30

合计

110

90

200

（1）定义分类变量，如下：，，以频率估计概率，求条件概率与的值；

（2）根据小概率值的独立性检验，分析经常进行体育锻炼是否对患该种慢性病有影响.

附：

0.1

0.05

0.01

0.005

0.001

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

19.（本小题满分12分）

已知数列满足，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和满足，对任意正整数，试比较与的大小.

20.（本题满分12分）

如图，在矩形中，，.沿对角线折起，形成一个四面体，且.

（1）是否存在，使得，同时成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

（2）求当二面角的正弦值为多少时，四面体的体积最大.

21.（本题满分12分）

已知椭圆的右焦点为，且椭圆经过点.过右焦点作直线交椭圆于，两点，是直线上任意一点.

（1）求的方程；

（2）设直线，，的斜率分别为，，，证明.

22.（本题满分12分）

已知函数，为的导函数.

（1）证明：；

（2）设函数有两个极值点，.

①求实数的取值范围；

②证明：.

2023-2024学年第二学期高三年级收心考试

数学参考答案

1.C【解析】，则.故选：C.

2.B【解析】，，.故选B.

3.D【解析】，，是第二或第四象限角，

∴.故选：D.

4.B【解析】，，由

解得，或