高等数学知识在物理学中的应用.docx

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《高等数学》知识在物理学中的应用举例

—导数与微分的应用

分析利用导数与微分的概念与运算，可解决求变化率的问题。求物体的运动速度、加速度的问题是典型的求变化率问题。在求解这类问题时，应结合问题的物理意义，明确是在对哪个变量求变化率。在此基础上，灵活运用各类导数和微分公式解决具体问题。

例1如图，曲柄OA?r,以均匀角速度?饶定点O转动.此曲柄借连杆AB使滑块B沿直线Ox运动.求连杆上C点的轨道方程及速度.设AC?CB?a,

ACB?AOB??,?ABO??

A

C

B

解1)如图，点C的坐标为：x?rcos??aco?s，(1)y?asin?. (2)

由三角形的正弦定理，有

r ? 2a

, o x

sin? sin?

故得

sin??2asin?

?2y. (3)

r r

由(1)得

cos??

x?acos??

(4)

x?

x? a2?y2

由(3)2?(4)2?sin2??cos2??1,得

4y2

r2

? ?1,

x2?

x2?a2?y2?2x a2?y2

化简整理,得C点的轨道方程为:

4x2(a2?y2)?(x2?3y2?a2?r2)2.

2)要求C点的速度,首先对(1),(2)分别求导,得

其中????.

x???r?sin??

r?co?s2co?s

sin?, y??

r?cos?,2

又因为rsin??2asin?, 对该式两边分别求导,得

???r?co?s.

2aco?s

所以C点的速度

x?2?y?

x?2?y?2

(?r?sin??r?co?ssin?)

2co?s

2

?r2?2co2s?

4

r?

?2co?s co2s??4sin?co?ssin?(??).

?t

例2若一矿山升降机作加速度运动时,其加速度为a?c(1?sin

),式中c及

2T

T为常数,已知升降机的初速度为零,试求运动开始t秒后升降机的速度及其所走过的路程.

解:由题设及加速度的微分形式a?

?t

dv,有dt

dv?c(1?sin

对等式两边同时积分

)dt,

2T

?vdv?c?t(1?sin?t)dt,

0 0 2T

得:

2T ?t

v?ct?c? cos2T?D,

其中D为常数.

由初始条件:v?0,t?0,得D??2T

?

c,于是

v?c[t?2T

?

又因为v?ds,得

dt

(cos?t

2T

?1)].

2T ?t

ds?c[t?

? (cos2T?1)]dt,

对等式两边同时积分,可得:

1 2T 2T ?t

s?c[ t2? ( sin ?t)].

2 ? ? 2T

例3宽度为d的河流，其流速与到河岸的距离成正比。在河岸处，水流速度为零，在河流中心处，其值为c.一小船以相对速度u沿垂直于水流的方向行驶，求船的轨迹以及船在对岸靠拢的地点。

yd解以一岸边为x轴，垂直岸的方向为y轴，如图建立坐标系。

y

d

?ky,0?y?d,

?v???2

?

??k(d?y),

?

?

d?y?d.2

o x

由河流中心处水流速度为c，故c?k?d

?k?(d?

d)，所以k?

2c.

当0?y?d时，v?2cy，即

2 2 d

2 d

dx?2cy,y?ut, (1)

dt d

得dx?2cutdt.

d

两边积分，有

?xdx??t2cutdt,

0

x?

由(1)-(2)，得

x?

0 d

cut2, (2)

d

dc y2, 0?y? . (3)

d

ud 2

同理，当d?y?d时，v?2c(d?y)，即

2 d

dx ? 2c(d ? y)? 2c(d ?ut),

dt d d

?dx??2c(d?ut)dt，

d

?x 2cy? c

?

y2?D， (4)

u ud

其中D为一常数。由(3)知，当 y?d时，x?