高等数学应用案例讲解新编.docx

高 等 数 学 应 用 案 例

案例1、如何调整工人的人数而保证产量不变

一工厂有x名技术工人和y名非技术工人，每天可生产的产品产量为

f(x,y)?x2y （件）

现有16名技术工人和32名非技术工人，如何调整非技术工人的人数，可保持产品产量不变？

解：现在产品产量为f(16,32)?8192件，保持这种产量的函数曲线为

f(x,y)?8192。对于任一给定值x，每增加一名技术工人时y的变化量即为这函数曲线切线的斜率dy。而由隐函数存在定理，可得

dx

所以，当增加一名技术工人时，非技术工人的变化量为

当x?16,y?32时，可得dy??4。

dx

因此，要增加一个技术工人并要使产量不变，就要相应地减少约4名非技术工人。

下面给出一个初等数学解法。令c：每天可生产的产品产量；

x；技术工人数；

0

y；非技术工人数；

0

?x；技术工人增加人数；

?y；在保持每天产品产量不变情况下，当技术工人由16名增加到17名时，非技术人员要增加（或减少）的人数。

由已知列方程：

当技术工人为16名，非技术工人为32名时，每天的产品产量为c，则有方程：

x2?y

0 0

?c （1）

当技术工人增加了1名时，非技术工人应为（y ??y）名，且每

0

天的产品产量为c，则有方程：

(x ??x)2?(y ??y)?c （2）

0 0

联立方程组（1）、（2），消去c得：

即 ? ?

? x2 ?

?y?x2/(x ??x)2?y

y ??y

?1? 0 ?

0 0 0 0

0 (x

0

??x)2?

?代入x,y

?

0 0

,?x，得：?y??3.6??4名，即减少4名非技术工人。

比较这两种解法我们可以发现，用初等数学方法计算此题的工作量很大，究其原因，我们注意到下面之展开式：

从此展开式我们可以看到，初等数学方法不能忽略掉高阶无穷小：

????x?2 ??

?

?

??x?n?1

?3

??x

?

?

0

? (1?)n?1n?

??0n?4 x

?

?

0

(?x?0)

?而高等数学方法却利用了隐函数求导，忽略掉高阶无穷小（3），所以

?

计算较容易。

案例2、征税的学问

工厂想赚钱，政府要收税，一个怎样的税率才能使双方都受益？这是一个具有现实意义的问题。假设工厂以追求最大利润为目标而控制它的产量q，政府对其产品征税的税率(单位产品的税收金额)为t，我们的任务是，确定一个适当的税率，使征税收益达到最大。

现已知工厂的总收益函数和总成本函数分别为R=R(q)、C=C(q)。由于每单位产品要纳税t，故平均成本要增加t，从而纳税后的总成本函数是利润函数是

令tdL ?0，有

令

t

dq

dR?dC

?t （1）

dq dq

这就是在纳税的情况下获得最大利润的必要条件。政府征税得到的总收益是

T?tq （2）

显然，总收益T不仅与产量q有关，而且与税率f有关。当税率t=0(免税)时，T=0；随着单位产品税率的增加，产品的价格也会提高，需求量就会降低，当税率f增大到使产品失去市场时，有q=0，从而也有T=0。因此，为了使征税收益最大，就必须恰当地选取 t。我们利用一元函数极值的有关知识来解决本问题，下面看一个实例。

例1： 厂商的总收益函数和总成本函数分别为

R?30q?3q2,C?q2?2q?2。

厂商追求最大利润，政府对产品征税，求

征税收益的最大值及此时的税率t；

厂商纳税前后的最大利润及价格．

解： 1)由纳税后获得最大利润的必要条件(1)，得

故 q?1(28?t)

t 8

根据实际问题的判断，q就是纳税后厂商获得最大利润的产出水平。

t

于是，这时的征税收益函数

要使税收T取最大值，令dT?0，得

dt

1(28?2t)?0，即t=14

8

根据实际问题可以断定必有最大值，现在

dT?0只有一个根，所以当

dt

t=14时，T的值最大。这时的产出水平q

t

?1(28?14)?1.75，最大征税收益8

为

2)容易算得纳税前，当产出水平q=时，可获得最大利润L=47，此时价

t格p=；将q=，t=14代入纳税后的利润函数得最大利润L=，此时产品价格

t

R(q

R(q)

q

q?1.75

?(30?3q)

=

q?1.75

可见，因产品纳税，产出水平由下降到；价格由上升到，最大利润由47下降到。

案例3、隧道的车流量问题

巴巴拉(Barbara)接受了纽约市隧道管理局