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题源探究·黄金母题
x2
【例1】已知经过椭圆
y2
?1的右焦点F
做垂直于x轴的直线AB
，交椭圆于A、B两点，F
是椭圆的
25 16 2 1
左焦点.
求?AFB的周长；
如果AB不垂直于x轴，?AFB的周长有变化吗？
考场精彩·真题回放
【例2】（2016北京理19）已知椭圆C:x2
a2
△OAB的面积为1.
求椭圆C的方程；
y2b2
?1?a?b?0?的离心率为
3，A?a,0?，B?0,b?，O?0,0?，
2
设P为椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：AN?BM为定值.
【解析】 可先作出本题的图形：
3??c
3
?
?
?a 2
由题设，可得?a2
?1
?b2?c2(a?b?0)
? ab?1
??2
解得a?2,b?1.所以椭圆C的方程是
x ?y2?1.
24
2
设椭圆上一点P?x,y
0 0
?，则x
204
2
0
y
0
0
y2
0
?
?1.
?
当x ?0时，直线PA:y?
0
?2y
x?2
0
x?2.
?令x?0，得y ? 0.
?
x 2
2yx
2y
x?2
0
0
所以BM?1?y
M
?1? .
直线PB:y?
y?1
0
x?1.
x
0
0 ，令y?0，得x ? ?
0 ，
y?1
xy
x
y?1
0
0
所以AN?2?x
N
所以AN?BM?
?2? .
xy?1002yx?200x?2y
x
y?1
0
0
2y
x?2
0
0
x?2y?2
0
y?1
0
0
x?2y?2
0
x?2
0
0
x2
x2?4y2?4xy?4x?8y?4
0
xy?x?2y?2
0
00
0
0
00 0 0
20将x ?y2
2
0
4 0
?1代入上式得AN?BM?4，故AN?BM为定值.
当x
0
?0时，y
0
??1，BM?2，AN??2，所以AN?BM?4.
综上所述，AN?BM为定值.
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