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题源探究·黄金母题
【例1】一动圆与圆x2?y2?6x?5?0外切，同时与圆x2?y2?6x?91?0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线.
x2
设椭圆方程为：
a2
y2b2
?1(a?b?0),
2a?12,a?6,c?3,b2
?a2?c2
?36?9?27,动圆圆心的轨迹方程为x2?y2
36 27
?1，它表示一个焦点在
x轴上的椭圆.
考场精彩·真题回放
【例2】（2016全国乙理20（1））设圆x2?y2?2x?15?0的圆心为A，直线l过点B?1,0?且与x轴不重合，
l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（1）证明EA?EB为定值，并写出点E的轨迹方程.
【解析】如图所示，圆A的圆心为A??1,0?，半径R?4，
y
y
E
D
A
O B
x
C
因为BE//AC，所以?C??EBD.又因为AC?AD，所以?C??EDB，
于是?EBD??EDB ，所以EB?ED.故AE?EB?AE?ED?AD?4为定值.
又AB?2，点E的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，
由c?1，a?2，得b2?3.故点E的轨迹C
x2 y2
?的方程为
?
?1?y?0?.
1 4 3
【例3】（2016全国丙卷20）已知抛物线的焦点为F，平行于x轴的两条直线分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.
若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
若△PQF的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.
所以?FQB??PAR，所以?PRA??PQF（等角的余角相等），所以AR//FQ.
(2)设A(x,y
),B(x,y
)，F(1,0)，准线为x??1，S
? PQ? y
y ，设直线AB与x
1 1 2 2 2
2 △PQF 1 2
1轴交点为N，S ? FN y?y
1
，因为S
?2S
，所以2FN?1，得x
?1，即N(1,0)．设
△ABF 2 1 2
AB中点为M(x,y)，
?PQF
?ABF N
??y2
?2x
y?y 1
y?y y
y ?1
由?1
1，得y2?y2
?2(x
?x)，即 1 2?
.又1 2?
，所以 ，
??y2
?
2
?2x
2
1 2 1 2
x?x
1 2
y?y
1 2
2
x?x
1 2
x?1
x?1 y
即y2?x?1．易知当直线AB不存在时，点M也满足此方程，所以AB中点轨迹方程为y2
?x?1.
1212
1
2
1
2
y
y
P
A
M
O
F
N
x
Q
B
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