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高等数学（2）学习辅导（8）
重积分典型例题解析
例1（1）根据二重积分的几何意义， ??
R2?x2?y2dxdy= 。（其中
? ?D
? ?
D?(x,y)x2?y2?R2 ）
累次积分?1dx?x
f(x,y)dy交换积分次序后，得到的积分为 。
0 x
已知积分区域D?{(x,y)x?1,y?1?1}，二重积分?? f(x,y)dxdy在直角坐标系下
D
2化为累次积分的结果是 。
2
解（1）应填 ?R3。
3
由二重积分的几何意义，??
D
R2?x2?y2dxdy表示球心在圆点，半径为R的上半球体的体积，
2故为 ?R3。
2
3
应填?1dy?y
f(x,y)dx。
0 y2
?0?x?1
x? ?由已知的累次积分，得积分区域为? ，若变换积分次序，即先积x后积y
x
? ?
?x y
量y的上、下限必须是常量，而积分变量x的积分上、下限必须是常量或是y的函数，因此积分区域
应表为?y2?x?y，于是交换后的积分为?1dy?y
f(x,y)dx
??0?y?1
?
0 y2
应填?1
dx?0
f(x,y)dy或?0
dy?1
f(x,y)dx
?1 ?2 ?2 ?1
由已知的积分区域为D?{(x,y)x?1,y?1?1}可知区域D满足联立不等式组
? ?1?x?1 ??1?x?1
??1?y?1?1，即而解得??2?y?0，因为两个积分变量的上、下限都是常量，所以可随意选择
? ?
积分的顺序，若先积x后积y，则应填?0
dy?1
f(x,y)dx，反之应填?1
dx?0
f(x,y)dy。
?2 ?1 ?1 ?2
例2（1）二重积分
?? x2dxdy可表达为累次积分（ ）。
1?x2?y2?4
A.?2?d??2r3cos2?dr； B.
?2?r3dr?2cos2?d?；
0 1 0 1
C. ?2
?2
dx?
4?
4?x2
x2dy； D.
?1dy?
1?y
1?y2
x2dx
4?x21?y24?x2?y2（2）由曲面z? 和z?0及柱面
4?x2
1?y2
4?x2?y2
4?r2A. ?2?d?
4?r2
dr； B.
4??
d??2r
dr；
4?
4?r2
2
C. ?2?d??1
??
2
4?r2
4?r2
0
4?r224??d??
4?r2
2
0 0 0 0
解（1）选择A
因为积分区域是环域1?x2
y2
?4 ?x?rcos?
，若选择极坐标系计算积分，令
，若选择极坐标系计算积分，令?y ??rsin
，则代入解得
区域D?{(r,?)1?r?2,0???2?}，所以A正确；若选择直角坐标系计算积分，要利用积分区间
的可加性，或利用区域的对称性，
??x2dxdy?4
??x2dxdy，于是
1?x2?y2?4
1?x2?y2?4
4?y2x
4?y2
1?y2再选择积分的顺序，若先积x后积y，则积分区域D?
1?y2
?x?
,1?y?2}
1?x2反之积分区域D?
1?x2
?y?
4?x2,1?x?2}，所以C，D都是错误的。
4?x2?y
4?x2?y2
4?x2?y2和z?0及柱面x2?
4?x2?y2
被圆柱面x2
y2
?1和oxy面所截的体积，由二重积分的几何意义知，积分区域为x2
y2
?1，被
4?x
4?x2?y2
，若选择极坐标系求积分，则积分区域D?{(r,?)0???2?,0?r?1}
被积函数为 4?r2rdrd?，则体积为V??2?d??1r 4?r2dr
0 0
若利用积分区域和被积函数的对称性，可以计算第一象限的二重积分在 4倍，这是积分区域
D?{(r,?)0?
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