高考抛物线专题做题技巧和方法总结.docx

高考抛物线专题做题技巧与方法总结

知识点梳理：

抛物线的标准方程、类型及其几何性质(p?0)：

标准方程

图形

y2?2px

▲

y2??2px

▲

x2?2py

▲

x2??2py

▲

y y y y

x x x

O x O O

O

F焦点 p

F

( ,0)

2

准线 p

F(?

p

p,0)

2

F(0,p)

2

p

F(0,?p)

2

p

x??

2

x? y?? y?

2 2 2

范围对称轴顶点离心率

x?0,y?R x?0,y?R

x轴

x?R,y?0 x?R,y?0

y轴

（0，0）

e?1

抛物线的焦半径、焦点弦

①y2?2px(p?0)的焦半径PF?x?P;x2?2py(p?0)的焦半径PF?y?P；

2 2

②过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.

③AB为抛物线

y2?2px

的焦点弦，则xx ?

AB

p2 ，yy

4 A B

??p2，

|AB|=x ?x ?p

A B

y2?2px

的参数方程为?x?2pt2（t

??y?2pt

?

为参数），

x2?2py

的参数方程为?x?2pt（t

??y?2pt2

?

为参数）.重难点突破

重点:掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能

1/16

通过方程研究抛物线的几何性质难点:与焦点有关的计算与论证

重难点:围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质

要有用定义的意识

问题1：抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( )

17

15

7

0

16 16 8

点拨：抛物线的标准方程为x2?1y，准线方程为y??1,由定义知，点M到准

4 16

线的距离为1，所以点M的纵坐标是15

16

求标准方程要注意焦点位置和开口方向

问题2：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3，2）的抛物线的条数有

点拨：抛物线的类型一共有4种，经过第一象限的抛物线有2种，故满足条件的抛物线有2条

研究几何性质，要具备数形结合思想，“两条腿走路”

问题3：证明：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切

点拨：设AB为抛物线的焦点弦，F为抛物线的焦点，点A、B分别是点A、B在准线上的射影，弦AB的中点为M，则AB?AF?BF?AA?BB，点M到准线

的距离为1(AA?BB)?1AB，?以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线

2 2

相切

3、典型例题讲解：考点1抛物线的定义

题型利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换

[例1]已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为

解题思路：将点P到焦点的距离转化为点P到准线的距离

2/16

[解析]过点P作准线的垂线l交准线于点R，由抛物线的定义知，

PQ?PF?PQ?PR，当P点为抛物线与垂线l的交点时，PQ?PR取得最小值，最小值为点Q到准线的距离,因准线方程为x=-1,故最小值为3

总结：灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的

距离之间的转换，一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关练习：

已知抛物线y2?2px(p?0)的焦点为F，点P(x，y

)，Px( y，)

，P(x，y)在

1 1 1

2 2 2

3 3 3

抛物线上，且|PF|、|PF|、|PF|成等差数列，则有 （ ）

1

x?x ?x

2 3

y?y ?y

1 2 3

x?x ?2x

1 2 3

y?y ?2y

1 3 2 1 3 2

［解析］C 由抛物线定义，2(x?p)?(x?p)?(x?p),即：x?x

?2x．

2 2 1 2 3 2

1 3 2

已知点A(3,4),F是抛物线y2?8x的焦点,M是抛物线上的动点,当MA?MF

最小时,

M点坐标是 ( )

A. (0, 0) B. (3, 2 6) C. (2, 4) D. (3, ?2 6)

[解析]设M到准线的距离为