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定积分在几何中的应用
1.几种典型的平面图形面积的计算剖析:(1)求由曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a<b)及y=0所围成的平面图形的面积S.2.求曲边多边形的面积的步骤有哪些?剖析:(1)画出图形,确定图形范围.即借助几何知识将所求图形的面积问题转化为求两个曲边梯形的面积问题.(2)确定积分上、下限.即通过解方程组求出交点的横坐标,确定积分上、下限.(3)确定被积函数,要特别注意分清被积函数的上、下位置.(4)写出平面图形面积的定积分表达式,运用微积分基本定理计算定积分,从而求出平面图形的面积.不分割型图形面积的求解【例1】求由抛物线y=x2-4与直线y=-x+2所围成图形的面积.分析:在平面直角坐标系中作图→求抛物线与直线的交点→利用定积分求面积分割型图形面积的求解分析:可先求出曲线与直线交点的横坐标,确定积分区间,然后分段利用公式求解.综合应用【例3】如图,在曲线C:y=x2,x∈[0,1]上取点P(t,t2),过点P作x轴的平行线l.曲线C与直线x=0,x=1及直线l围成的图形包括两部分,面积分别记为S1,S2.(1)求t的值,使S1=S2;(2)求t的值,使S=S1+S2最小.分析:应先根据题意及用定积分求曲边多边形面积的方法得出用t表示的两图形的面积S1,S2的表达式,再根据各小题的条件求解.
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