专题28 二次函数与菱形存在问题-2024年中考数学之二次函数重点题型专题（全国通用版）（解析版） [001].docxVIP

专注：心无旁骛，万事可破

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专注：心无旁骛，万事可破

专题28二次函数与菱形存在问题

1．（2024·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．

（1）求A，B，C三点的坐标；

（2）连接，直线与该抛物线交于点E，与交于点D，连接．当时，求线段的长；

（3）点M在y轴上，点N在直线上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）A（-4,0），B（2,0），C（0，-8）；（2）；（3）存在，M、、

【分析】

（1）分别令x=0、y=0即可求出A，B，C三点的坐标；

（2）先求出AC解析式，用m表示出DE坐标，最后根据求出m的值即可；

（3）分三种情况：对角线或为对角线或为对角线，①当为对角线时，，，可得出，根据，即可求出答案；②当为对角线时，，，设，则，，建立方程求解即可；③当对角线时，与互相垂直平分，设，则，，根据在直线上，即可求得答案．

【详解】

解：（1）令x=0得，

∴C点坐标（0，-8）

令y=0得：，

解得：，

∴A（-4,0），B（2,0）；

（2）设DE交x轴于F，

设AC解析式为，代入AC坐标得：

，

解得

∴AC解析式为，

∵直线与该抛物线交于点E，与交于点D，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

解得，

∴；

（3）存在，

如图2，，

抛物线对称轴为直线，

以、、、为顶点的四边形是菱形，

分三种情况：对角线或为对角线或为对角线，

①当为对角线时，，，

点为直线与抛物线对称轴的交点，即，

，

，

，；

②当为对角线时，，，

设，则，，

，

解得：，

，

③当对角线时，与互相垂直平分，设，则，，

在直线上，

，

，

综上所述，点的坐标为：，，，．

【点睛】

本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的性质；会利用相似三角形处理垂直．

2．（2024·湖南娄底·中考真题）如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C．

（1）求的值；

（2）点为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线于点Q．

①当时，求当P点到直线的距离最大时m的值；

②是否存在m，使得以点为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．

【答案】（1）b=，c=；（2）①；②不存在，理由见解析

【分析】

（1）将A（-1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c，可求出答案；

（2）①设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），再利用二次函数的性质即可求解；

②分情况讨论，利用菱形的性质即可得出结论．

【详解】

解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），

∴，

解得：，

∴b=，c=；

（2）①由（1）得，抛物线的函数表达式为：y=x2，

设点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），

∵0m3，

∴PQ=m-(m2-2m-3)=-m2+3m+3=-+，

∵-10，

∴当时，PQ有最大值，最大值为；

②∵抛物线的函数表达式为：y=x2-2x-3，

∴C（0，-3），

∴OB=OC=3，

由题意，点P（m，m2-2m-3），则点Q（m，m），

∵PQ∥OC，

当OC为菱形的边，则PQ=OC=3，

当点Q在点P上方时，

∴PQ=，即，

∴，

解得或，

当时，点P与点O重合，菱形不存在，

当时，点P与点B重合，此时BC=，菱形也不存在；

当点Q在点P下方时，

若点Q在第三象限，如图，

∵∠COQ=45°，

根据菱形的性质∠COQ=∠POQ=45°，则点P与点A重合，

此时OA=1OC=3，菱形不存在，

若点Q在第一象限，如图，

同理，菱形不存在，

综上，不存在以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形．

【点睛】

本题是二次函数综合题，考查的是二次函数的性质，菱形的判定和性质等知识，其中，熟练掌握方程的思想方法和分类讨论的思想方法是解题的关键．

3．（2024·重庆市·中考三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C．

（1）求线段BC的长；

（2）点P为第三象限内抛物线上一点，连接BP，过点C作交x轴于点E，连接PE，求面积的最大值及此时点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，以y轴为对称轴，将抛物线对称，对称后点P的对应点为点，点M为对称后的抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，是否存在以点A、、M、N为顶点的四边形是