第09讲正方形（核心考点讲与练）（沪教版）（原卷版)[001].docxVIP

专注：心无旁骛，万事可破

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专注：心无旁骛，万事可破

第09讲正方形（核心考点讲与练）

一．正方形的性质

（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

（2）正方形的性质

①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；

②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；

③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．

④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．

二．正方形的判定

正方形的判定方法：

①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；

②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．

③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．

三．正方形的判定与性质

（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．

（2）正方形的判定

正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．

一．正方形的性质（共8小题）

1．（2021春?浦东新区期末）如图，正方形ABCD中，点G是CD边上的一点（点G不与点C，点D重合），以CG为一边向正方形ABCD外做正方形GCEF，联结DE交BG的延长线于点H．

（1）求证：BH⊥DE；

（2）若正方形ABCD的边长为1，当点H为DE中点时，求CG的长．

2．（2021春?金山区期末）如图，正方形ABCD的边长等于4，对角线AC、BD相交于点O，E是DB延长线上一点，∠BCE＝15°，那么△BCE的面积等于．

3．（2020秋?普陀区期末）如果存在一条直线将一个图形分割成两部分，使其中一部分图形按某个方向平移后能够与另一部分重合，那么我们把这种图形称为平移重合图形，下列图形中，不是平移重合图形的是（）

A．??正方形 B．??长方形

C．平行四边形 D．??圆

4．（2021秋?虹口区校级期末）如图，正方形ABCD边长为2，CE∥BD，BE＝BD，则CE＝．

5．（2021秋?浦东新区期中）如图，E、F分别为边长为1的正方形ABCD边BC、CD上的两个动点，若∠EAF的大小始终保持45°不变，则△CEF的周长为．

6．（2021春?嘉定区期末）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAC的平分线分别交BD、BC于点G、H，如果AB＝4，那么OG＝．

7．（2021春?杨浦区期末）如图，在正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，联结DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，BF与边CD相交于点G．

（1）求证：CG＝CE；

（2）联结CF，求证：∠BFC＝45°；

（3）如果正方形ABCD的边长为2，点G是边DC的中点，求EF的长．

8．（2021秋?徐汇区期中）如图所示，在直角三角形中有三个连续排列的正方形甲、乙、丙，已知正方形甲、乙的边长分别为9和6，则正方形丙的边长等于．

二．正方形的判定（共5小题）

9．（2021春?奉贤区期末）已知：如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在边BC，CD上，且BE＝DF，过点F作AE的平行线交对角线AC的延长线于点G，连接EG．

（1）求证：四边形AEGF是菱形；

（2）如果∠B＝∠BAE＝30°，求证：四边形AEGF是正方形．

10．（2021春?闵行区期末）已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）

A．当AC＝BD时，四边形ABCD是正方形

B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形

C．当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形

D．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形

11．（2021春?普陀区校级期中）矩形各角的角平分线交成的四边形是（）

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形

12．（2021春?虹口区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD，E是对角线BD上的一点，且AE＝CE．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）如果AB＝BE，且∠ABE＝2∠DCE，求证：四边形ABCD是正方形．

13．（2020春?金山区期中）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC上，DF⊥AB，垂足为F，且DF＝CD，点E为线段AD的中点，过点F作FG∥CE交射线AD于G，联结CG．

（1）求证：四边形CEFG是菱形．

（2）当AC＝BC时，求证：四边形CEFG是正方形．

三．正方形的判定与性质（共4小题）

14．（