定积分在几何中的应用 课件 (2).ppt

定积分在几何中的应用用定积分求平面图形的面积一般地，设由曲线y=f(x)，y=g(x)以及直线x=a,x=b所围成的平面图形(如图所示)的面积为S,则S=_________________.1.选择积分变量时，一定是x吗？提示：不一定，可以根据题意,选择x或y.但要注意选择y为积分变量时，要把函数变形成用y表示x的形式.2.由x=0，x=1，y=0及f(x)=x2所围成图形的面积为_____.【解析】S=.答案：3.由曲线y＝sinx与直线x＝，x＝，y＝0所围图形的面积为________.【解析】如图，所求面积为S===1+2+(1-)=4-.答案：几种定积分与曲边梯形的面积的关系(1)由一条曲线f(x)和x=a，x=b，y=0(ab)所围成的曲边梯形的面积S.设曲边梯形在x轴上方的面积为S上，x轴下方的面积为S下.则①当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图1，则=S上.②当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图2，则=-S下.③当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图3，则=S上-S下，若S上＝S下，则=0.(2)由两条曲线f(x)，g(x)和直线x=a，x=b(ab)所围成的平面图形的面积S.①如图1所示，f(x)g(x)0时，S==.②如图2所示，f(x)0,g(x)0时，S==.③如图3所示，f(x)0,g(x)0时，S==.不分割型平面图形面积的求解【技法点拨】求不分割图形面积的一般步骤画图形在坐标系中画出由直线与曲线围成的图形求坐标求出直线与曲线交点的横坐标并确定积分上、下限面积表示用定积分表示图形的面积求面积求定积分进而得图形的面积【典例训练】(建议教师以第2题为例重点讲解)1.由抛物线y2=x与直线x=2所围成的图形的面积为_______.2.求y=-x2与y=x-2围成图形的面积S.【解析】1.由得其交点为(2,)，(2,)，所以结合抛物线的对称性和定积分的概念，所围成的图形的面积为.答案：2.如图，由得交点A(－2，－4)，B(1，－1).∴围成图形(阴影部分)的面积为S＝＝.【归纳】(1)解答题1的关键是确定曲边梯形，选定积分变量，确定被积函数和积分上、下限.(2)解答题2的注意点是图形面积与定积分不一定相等，要注意图形在x轴上方还是下方.分割型图形面积的求解【技法点拨】复杂图形面积的两个求解策略(1)由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化分段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和.(关键词：对区间细化分段)(2)若积分变量选取x运算较为复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上、下限.(关键词：转换变量)【典例训练】（建议教师以第2题为例重点讲解）1.由曲线y＝x2－1，直线x＝0，x＝2和x轴围成的封闭图形的面积(如图)是()(A)(B)(C)(D)2.求由曲线y＝，y＝2－x，y＝所围成图形的面积.【解析】1.选C.阴影部分的面积S==，故选C.