模型34 两圆中垂构造等腰三角形（教师版）.pdf

模型介绍

【模型】已知点A，B是平面内两点，再找一点C，使得△ABC为等腰三角形.

【结论】分类讨论：

若AB＝AC，则点C在以点A为圆心，线段AB的长为半径的圆上；

若BA＝BC，则点C在以点B为圆心，线段AB的长为半径的圆上；

若CA＝CB，则点C在线段AB的垂直平分线PQ上．以上简称“两圆一中垂”．

“两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形，但是要除去原有的点A，B，还要除去因共线无法

构成三角形的点M，N以及线段AB中点E(共除去5个点)，需要注意细节.

例题精讲

【例1】．如图，平面直角坐标系中，已知A（2，2），B（4，0）．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三

角形，你能否将点C的坐标表示出来？

解：∵点A、B的坐标分别为（2，2）、B（4，0）．

∴AB＝2，

①若AC＝AB，以A为圆心，AB为半径画弧与x轴有2个交点（含B点），即C（0，0）、（4，0）（舍

1

去）；

1

②若BC＝AB，以B为圆心，BA为半径画弧与x轴有2个交点（A点除外）：（4﹣2，0）（4+2，

0），即满足△ABC是等腰三角形的C点有2个；

③若CA＝CB，作AB的垂直平分线与x轴，y轴各有一个有1个交点，分别为（2，0），（0，﹣2）；

将点C的坐标表示出来，如图：

综上所述：点C在x轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有5个．

变式训练

【变式1-1】．直线y＝﹣x+2与x轴、y轴的正半轴分别交A、B两点，点P是直线y＝﹣x+2上的一点，当

△AOP为等腰三角形时，则点P的坐标为（0，2），（1，1），（2﹣，），（2+，﹣）．

解：依题意得A（2，0），B（0，2），△AOP为等腰三角形，有三种情况：

当点O为顶点，OA为腰时；以OA为半径画弧交直线AB于点P，P（0，2）符合题意；

当点A为顶点，OA为腰时，以点A为圆心，OA为半径画弧交直线AB于两点，过P点作x轴的垂线，

由解直角三角形得点P坐标是（2﹣，），（2+，﹣）；

当OA为底时，作线段OA的中垂线交直线AB于P点，则P（1，1）．

故答案为：（0，2），（1，1），（2﹣，），（2+，﹣）．

2

【变式1-2】．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，点P为边AB上一动点，连接CP，DP．当△CDP

为等腰三角形时，AP的值为1或2.5或4．

解：在矩形ABCD中，CD＝AB＝5，

①当CD＝CP＝5时，过点P作PQ⊥CD于点Q，

∴PQ＝AD＝3，

CQ＝＝4，

∴BP＝4，

∴AP＝1；

当CD＝DP＝5时，同可得AP＝4，

②①

③当DP＝CP时，可知P为AB的中点，AP＝2.5．

故答案为：1或2.5或4．

【例2】．如图，已知点A（1，2）是反比例函数y＝图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支

于点B，点P是x轴上一动点；若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是（﹣3，0）或（5，0）或（3，

0）或（﹣5，0）．

3

解：∵反比例函数y＝图象关于原点对称，

∴A、B两点关于O对称，

∴O为AB的中点，且B（﹣1，﹣2），

∴当△PAB为等腰三角形时有PA＝AB或PB＝AB，

设P点坐标为（x，0），

∵A（1，2），B（﹣1，﹣2），

∴AB＝＝2，PA＝，PB＝，

当PA＝AB时，则有＝2，解得x＝﹣3或5，此时P点坐标为（﹣3，0）或（5，0）；

当