2024届上海市静安区高三上学期期末教学质量调研数学试题（解析版）.docx

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上海市静安区2024届高三上学期期末教学质量调研

数学试题

一、填空题

1.准线方程为的抛物线标准方程为______．

〖答案〗

〖解析〗由抛物线准线方程可知，抛物线开口向右，其中，得，

所以抛物线标准方程为.

故〖答案〗为：.

2.的二项展开式中的系数为______.

〖答案〗6

〖解析〗由的二项展开式得通项为：，使，解得：，

故的二项展开式中的系数为.

故〖答案〗为：6.

3.若一个圆柱的底面半径和母线长都是1，则这个圆柱的体积是______.

〖答案〗

〖解析〗这个圆柱的体积.

故〖答案〗为：.

4.已知，是虚数单位，的虚部为______.

〖答案〗

〖解析〗由题，

所以的虚部为.

故〖答案〗为：.

5.计算_____________．

〖答案〗2

〖解析〗.

故〖答案〗为：2.

6.某果园种植了222棵苹果树，现从中随机抽取了20棵苹果树，算得这20棵苹果树平均每棵产量为28kg，则预估该果园的苹果产量为______kg．

〖答案〗6216

〖解析〗设该果园的苹果产量预估值为，

则.

故〖答案〗为：6216.

7.下列幂函数在区间上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是______（请填入全部正确的序号）．

①；②；③；④．

〖答案〗②

〖解析〗因为幂函数在区间上是严格增函数，所以，故④不满足题意,

因为该幂函数图象关于原点成中心对称，所以为奇函数，

根据奇函数的性质，

因为定义域为，所以图象不关于原点成中心对称，故①不满足题意；

因为的定义域为，且，故②满足题意；

因为的定义域为，且，故③不满足题意.

故〖答案〗为：②.

8.若不等式对所有实数x恒成立，则实数a的取值范围是______．

〖答案〗

〖解析〗∵由绝对值的几何意义知：对于任意实数x都有，

∴对所有实数x恒成立，则必有，

故〖答案〗为：.

9.如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，是上的点，直线与平面所成的角是，则的长为______.

〖答案〗2

〖解析〗由题意知在四棱锥中，平面，底面是矩形，

以A为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，

则，设，

则，

设平面的一个法向量为，则，

即，令，则，

设直线与平面所成的角为，

直线与平面所成的角是，则，

故，

即，解得（负值舍去），

故的长为2，

故〖答案〗为：2.

10.不等式的解集为______.

〖答案〗

〖解析〗令，易知在区间上单调递增，

又，所以的解集为，

故〖答案〗为：.

11.在国家开发西部的号召下，某西部企业得到了一笔400万元的无息贷款用做设备更新．据预测，该企业设备更新后，第1个月收入为20万元，在接下来的5个月中，每月收入都比上个月增长20%，从第7个月开始，每个月的收入都比前一个月增加2万元．则从新设备使用开始计算，该企业用所得收入偿还400万无息贷款只需______个月．（结果取整）

〖答案〗10

〖解析〗由题意设每个月的收入为数列，其前n项和记作，前6个月的收入成等比数列，且公比为，

第7个月开始收入成等差数列，公差为2，则，

又，，，，

而，，

所以该企业用所得收入偿还400万元贷款只需10个月.

故〖答案〗为：10.

12.记，若存在实数，满足，使得函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是______.

〖答案〗

〖解析〗由题意知在区间内有解，

即，即在区间内有解，

设，则该函数在上单调递减，在上单调递增，

且，故在上的最大值为，

故，即实数的取值范围是，

故〖答案〗为：.

二、选择题

13.已知：，：，则是的（）

A.必要非充分条件 B.充分非必要条件

C.充要条件 D.既非充分又非必要条件

〖答案〗B

〖解析〗因为，

解得或，

根据“谁大谁必要，谁小谁充分”得出是充分不必要条件，

故选：B.

14.设是第一象限的角，则所在的象限为（）

A.第一象限 B.第三象限

C.第一象限或第三象限 D.第二象限或第四象限

〖答案〗C

〖解析〗因为是第一象限的角，

所以，，

所以，

当时，，为第一象限角；

当时，，为第三象限角.

故选：C

15.教材在推导向量的数量积的坐标表示公式“（其中）”的过程中，运用了以下哪些结论作为推理的依据（）

①向量坐标的定义；

②向量数量积的定义；

③向量数量积的交换律；

④向量数量积对数乘的结合律；

⑤向量数量积对加法的分配律．

A.①③④ B.②④⑤

C.①②③⑤ D.①②③④⑤

〖答案〗D

〖解析〗在坐标系中，是轴，轴上的单位向量，

，

则，故，

.

则在推导过程中，运用了向量坐标的定义；???向量数量积的定