2024届陕西省西安市部分学校高三上学期12月联考数学试题（理）（解析版）.docx

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陕西省西安市部分学校2024届高三上学期12月联考

数学试题（理）

第Ⅰ卷

一?选择题

1.已知集合，则（）

A. B. C. D.

〖答案〗A

〖解析〗由得，又，

所以，

故选：A.

2.（）

A. B.

C. D.

〖答案〗D

〖解析〗根据题意：,

故选：D

3.“”是“”的（）

A.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

〖答案〗C

〖解析〗由可得，所以“”是“”的必要不充分条件，

故选：C.

4.设等比数列的前项和为，且，则（）

A.3 B.9 C.12 D.15

〖答案〗B

〖解析〗由，得，解得，，

所以.

故选：B.

5.已知，且，则（）

A.有最小值8 B.有最小值

C.有最大值8 D.有最大值

〖答案〗A

〖解析〗由可得，所以，

由于，且，则，故，当且仅当时取等号，

故，因此有最小值8，

故选：A

6.已知，则（）

A. B.

C. D.

〖答案〗D

〖解析〗由可得，

因此可得，故，

故选：D

7.在中，内角所对的边分别是，若，且外接圆的半径为2，则面积的最大值是（）

A. B. C. D.

〖答案〗D

〖解析〗由于，且外接圆半径为2，所以．

由余弦定理得，

，

则

故选：D．

8.窗户，在建筑学上是指墙或屋顶上建造的洞口，用以使光线或空气进入室内.如图1，这是一个外框为正八边形，中间是一个正方形的窗户，其中正方形和正八边形的中心重合，正方形的上?下边与正八边形的上?下边平行，边长都是4.如图2，是中间正方形的两个相邻的顶点，是外框正八边形上的一点，则的最大值是（）

A. B. C. D.

〖答案〗A

〖解析〗记正八边形右下角的两个顶点分别为，连接，

由题意易得等腰直角三角形，，则，

不妨设，由于题目要求的最大值，故只考虑的情况，

过作，垂足为，则，又，

所以，

显然，当点与点重合时，取得最大值，

所以的最大值为.

故选：A.

9.已知为第二象限角，且，则（）

A. B. C. D.

〖答案〗B

〖解析〗由于为第二象限角，则,

则，

由可得，

，

，

由于，

所以，故，

所以，

故选：B

10.已知正四棱锥内切球的半径为，且，则正四棱锥的体积是（）

A. B. C. D.

〖答案〗D

〖解析〗在正四棱锥中，连接，，，连，

则平面，

设，则，

由等体积法可得，

故，解得，

故

故选：D．

11.已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

〖答案〗C

〖解析〗令,则，进而可得或，

因此的非负零点有，

要使得在上恰有3个零点，则，解得，

故选：C

12.已知函数，是函数的4个零点，且，给出以下结论：①的取值范围是，②，③的最小值是4，④的最大值是.其中正确结论的个数是（）

A.1 B.2 C.3 D.4

〖答案〗B

〖解析〗作出函数的图象如下图所示：

??

因为是函数的4个零点，

所以直线与函数的图象有四个交点，且，

根据图象知：，所以①错误；

对于②，由图可知，，则，所以，

，则，所以，

所以，所以，正确；

对于③，由图可知，，由得，

即，所以，所以，

当且仅当即时，等号成立，显然不满足，

所以，错误；

对于④，因为，当且仅当时，等号成立，

所以，即的最大值是，正确.

综上，正确结论为②④，共2个.

故选：B.

第II卷

二?填空题

13.已知向量，，若，则__________．

〖答案〗2

〖解析〗因为，，，

所以，解得，

故〖答案〗为：2.

14.在正方体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是__________.

〖答案〗

〖解析〗因为是正方体，建立以为原点坐标系，如图，

设正方体的棱长为2，则有，，，

，，，

设异面直线与所成角为，

．

故〖答案〗为：．

15.对于数列，定义为的“优值”.若数列的“优值”，则__________.

〖答案〗

〖解析〗由题意可得，

所以，

故，，

相减可得，

所以，

故〖答案〗为：：

16.已知函数，直线，若直线与的图象交于点，与直线交于点，则之间的最短距离是__________.

〖答案〗

〖解析〗函数，直线，

若直线与的图象交于点，与直线交于点，

直线的斜率为，直线的斜率为，两直线垂直，

则函数图象上的点到直线的最短距离，即为，之间的最短距离，

由题意可得，．

令，则，解得，

，取点，

点到直线的距离，

则，之间的最短距离是．

故〖答案〗为：．

三?解答题

17.已知函数，