2024届山西省大同市高三上学期冬季教学质量检测数学试题（解析版）.docx

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山西省大同市2024届高三上学期冬季教学质量检测

数学试题

一、单项选择题

1.已知集合，，若，则（）

A.-1 B.2 C.3 D.4

〖答案〗B

〖解析〗由，得，解得且且，

故A错；

又，

若2，则，，满足题意.故B对；

若3，则，，不满足题意；故C错

若4，则，，不满足题意；故D错；

故选：B

2.若复数，则（）

A.10 B.9 C. D.

〖答案〗A

〖解析〗，

所以，

故选：A

3.设向量，满足，，则（）

A.5 B.6 C.7 D.8

〖答案〗B

〖解析〗因为，，

以上两式相减，可得，即，

所以.

故选：B

4.记等差数列的前项和为，若，则的公差为（）

A. B.1 C.2 D.4

〖答案〗C

〖解析〗因，则，所以，

设的公差为，则，所以.

故选：C.

5.头孢类药物具有广谱抗菌、抗菌作用强等优点，是高效、低毒、临床应用广泛的重要抗生素.已知某人服用一定量某种头孢类药物后，血浆中的药物浓度在2h后达到最大值80mg/L，随后按照确定的比例衰减，半衰期（血浆中的药物浓度降低一半所需的时间）为2.4h，那么从服药后开始到血浆中的药物浓度下降到8mg/L，经过的时间约为（参考数据：）（）

A.8h B.9h C.10h D.11h

〖答案〗C

〖解析〗设血浆中的药物浓度从最大值80mg/L下降到8mg/L需要经过，则，

所以，则，

故从服药后开始到血浆中的药物浓度下降到8mg/L需要8+2=10（h）.

故选：C.

6.已知圆台的上、下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且，圆的周长为，一只蚂蚁从点A出发沿着圆台侧面爬行一周到点B，则其爬行的最短路程为（）

A.1 B. C.2 D.

〖答案〗B

〖解析〗将圆台的侧面沿着母线剪开，展成平面图形，延长交于点，连接，如图，

显然弧的长为，弧的长为，设，则，，

则，即，得，于是是的中点，，

因此是等边三角形，有，且与弧相切，则在此侧面展开图内，

所以蚂蚁爬行的最短路线即线段，.

故选：B

7.已知函数，若且，则的最小值为（）

A.7 B.9 C.11 D.13

〖答案〗D

〖解析〗∵，

∴是的一个最大值点，即直线是图象的一条对称轴，

又，

∴，则，

∴，

又∵在时取得最大值，可得，

∴，

又∵，

∴的最小值为13.

故选：D.

8.设函数的定义域为，若，，则实数（）

A.-2 B. C. D.2

〖答案〗A

〖解析〗对任意，设，则，整理可得①，

由得，可得②，

由①②可知：，化简可得，

显然不恒为，所以，所以，

故选：A.

二、多项选择题

9.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则（）

A.若，则

B.若，则与为异面直线

C.若，则

D.若，则

〖答案〗AD

〖解析〗对于A，因为，所以存在直线，使得.因为，所以，所以，故A正确.

对于B根据B选项的条件直线与可能相交，也可能为异面直线.故B不正确.

根据C选项的条件不能排除.故C不正确

对于D因为若则存在直线，使得，因为所以，所以，故D正确.

故选：AD

10.已知函数，记的极小值点为，极大值点为，则（）

A. B.

C. D.

〖答案〗ACD

〖解析〗的定义域为，，

由，得或；，得；

所以在上单调递增，上单调递减，在单调递增，

所以极大值点为1，极小值点为2，即，

所以，故A对，，B错误

，故C正确；

由在上单调递减可得，即，故D正确

故选：ACD

11.若，且，，则（）

A. B.

C. D.

〖答案〗BD

〖解析〗由题意可得，

所以，故A错误；

，

因为，

所以，所以，故B正确；

因为，所以，

所以

，故C错误：

即，

因为，所以，

故，所以，故D正确.

故选：BD

12.已知双曲线：的右焦点为F，动点M，N在直线：上，且，线段，分别交C于P，Q两点，过P作的垂线，垂足为.设的面积为，的面积为，则（）

A.的最小值为 B.

C.为定值 D.的最小值为

〖答案〗BC

〖解析〗对于A，易得，设，则，

设，，由三角形相似可得，

所以，当且仅当时等号成立，故A错误；

对于B，设，则，由，得，

所以，所以，故B正确；

对于C，由，可得，所以，

整理得，为定值，故C正确；

对于D，易知，设，

则，，

设，则，解得，

同理可得，

所以，

令，

则，设，

则，

所以在上单调递减，故的最小值为，故D错误.

故选：BC.

三、填空题

13.若某圆锥的侧面积为底面积的倍，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为__________.

〖答