2024届山西省部分学校高三上学期12月联考数学试题（解析版）.docx

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山西省部分学校2024届高三上学期12月联考数学试题

一、选择题

1.已知是全集的非空子集，且，则（）

A. B.

C. D.

〖答案〗D

〖解析〗因为M，N是全集U的非空子集，且，

所以韦恩图为：

??

由韦恩图可知，A不正确；B不正确；C不正确；D正确.

故选：D

2.若满足，则（）

A. B. C.5 D.

〖答案〗B

〖解析〗因为，则，

则.

故选：B

3.已知非零平面向量，那么“”是“”的（）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

〖答案〗B

〖解析〗因为向量、为非零向量，设向量、的夹角为，

在等式两边平方可得，

所以，，则，

因为，所以，，即、方向相同，

所以，“”不能推出“、方向相同”，“、方向相同”能推出“”，

因此，“”是“”的必要而不充分条件.

故选：B.

4.记的内角所对的边分别为，则边上的高为（）

A. B. C. D.

〖答案〗D

〖解析〗由，得.

设边上的高为，

因为，所以，

即边上的高为.

故选：D

5.已知某物种年后的种群数量近似满足函数模型：．自2023年初起，经过年后，当该物种的种群数量不足2023年初的时，的最小值为（参考数据：）（）

A.10 B.11 C.12 D.13

〖答案〗D

〖解析〗由题意可知2023年初的种群数量为时的函数值，

故令，即，

则，

由于，故n的最小值为13，

故选：D

6.过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（）

A. B. C.1 D.2

〖答案〗B

〖解析〗由题意得，过点作曲线的两条切线，

设切点坐标为，则，即，

由于，故，，

由题意可知，为的两个解，则，，

故.

故选：B

7.对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶商数列，再令，则数列是数列的二阶商数列．已知数列为，，，，，，且它的二阶商数列是常数列，则（）

A B. C. D.

〖答案〗C

〖解析〗设数列的一阶商数列为，二阶商数列为，

则，，，

又数列的二阶商数列是常数列，

则，

则满足，

所以数列是为首项，为公比的等比数列，

则，

所以，

则，，，，，，

等式左右分别相乘可得，

所以，

则，

故选：C.

8.已知函数，设，则（）

A. B. C. D.

〖答案〗A

〖解析〗当时，，证明如下：

令在单调递减，所以，故，因此，

设则当时单调递减，当时，单调递增，故当，故当等号成立，

故

构造函数，则，

所以函数单调递减，故，

则，进而可得，

进而可得，

又，（证明如下：故在单调递减，故）

所以，进而，

由于时，，故，

从而

因此，进而，

由于，所以上单调递增，

故，即

故选：A

二、选择题

9.设正实数a，b满足，则（）

A.有最大值4 B.有最大值

C. D.

〖答案〗BCD

〖解析〗对于A，正实数a，b满足，即有，可得，当且仅当时取等号，

所以，当且仅当时取等号，

所以当时，取得最小值4，无最大值，所以A错误；

对于B，由选项A可知，，当且仅当时取等号，所以B正确；

对于C，，当且仅当时等号成立，C正确；

对于D，，当且仅当时等号成立，D正确.

故选：BCD

10.一半径为2米的水轮，水轮圆心O距离水面1米（如图）.已知水轮按逆时针方向绕圆心O做匀速转动，每1分钟转动一圈，如果当水轮上点P从水面浮现时开始计时，则下列判断正确的有（）

A.点P第一次到达最高点需要20秒

B.点P第一次到达最低点需要45秒

C.在水轮转动的一圈内，有20秒的时间，点P在水面的下方

D.当水轮转动30秒时，点P距离水面的高度是2米

〖答案〗ACD

〖解析〗以O为坐标原点建立直角坐标系，如下图，设点P距离水面的高度与时间的函数〖解析〗式为，

由题意知：，，最小正周期，

所以，，，

所以，即，

又由及题意，所以，

所以.

对于A，令，解得，

即点P第一次到达最高点需要20秒，故A正确；

对于B，令，解得，故B错误；

对于C，令，即，

所以，解得，

所以水轮转动一圈内，点P在水面下方的时间为秒，故C正确；

对于D，因为，

所以当水轮转动30秒时，点P距离水面的高度是2米，故D正确.

故选：ACD.

11.已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，E为AB的中点，则（）

A.BC1∥平面A1EC

B.二面角A1－EC－A的正弦值为

C.点A到平面A1BC1的距离为

D.若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的半径为

〖答案〗ACD

〖解析〗A选项，连接，使相交于F，连接EF，因F，E分别为中点，

则