模型32 三角形中的四心问题（重心、外心、内心、垂心）（学生用）.pdf

模型介绍

1．三角形的五心

三角形的五心定义

外心：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；

内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等；

重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；

垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；

旁心：与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁

心；三角形有三个旁心．

2．三角形的重心

（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．

（2）重心的性质：

①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．

②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．

③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）

3．三角形的外接圆与外心

（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．

（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．

（3）概念说明：

①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．

②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在

1

三角形的外部．

③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而

一个圆的内接三角形却有无数个．

4．三角形的内切圆与内心

（1）内切圆的有关概念：

与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做

圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．

（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．

（3）三角形内心的性质：

三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．

5.垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心.

例题精讲

考点一：三角形重心问题

【例1】．如图，△ABC的中线BD、CE相交于点F，若四边形AEFD的面积为6，则△CBF的面积为．

2

变式训练

【变式1-1】．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CO⊥AB于点O，中线AE与

CO相交于点F，则的值为．

【变式1-2】．如图，在平面直角坐标系中，点B（﹣2，3），点C在x轴负半轴，OB＝BC，点M为△OBC

的重心，若将△OBC绕着点O旋转90°，则旋转后三角形的重心的坐标为．

考点二：三角形外心问题

【例2】．如图，点O是△ABC的外心，连接OB，若∠OBA＝17°，则∠C的度数为°．

3

变式训练

2

【变式2-1】．已知△ABC的三边a，b，c满足|c﹣4|+b+a﹣10a＝4﹣30，则△ABC的外接圆半径的

长为．

【变式2-2】．如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为．

考点三：三角形内心问题

【例3】．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．则△ABC的内切圆半径r＝．

变式训练

2

【变式3-1】．⊙O是△ABC的内切圆，且∠C＝90°，切点为D，E，F，若AF，BE的长是方程x﹣13x+30

＝0的两个根，则S△ABC的值为（）

A．30B．15C．60D．13

4

【变式3-2】．如图所示，在矩形ABCD中，BD＝10，△ABD的内切圆半径为2，切三边于E、F、G，则

矩形两边AB＝，AD＝．

考点四：三角形垂心问题

【例4】．如图，H是锐角△ABC的垂心（3条高的交点），若AH＝BC，则∠BAC的度数是