模型35 垂美四边形模型（学生用）.pdf

模型介绍

结论：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图所示则有：AB+CD＝AD+BC2222

【证明】∵AC⊥BD，

∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，

由勾股定理得：

222222

AB+CD＝AO+BO+CO+DO，

2222222222

AD+BC＝AO+DO+BO+CO，∴AB+CD＝AD+BC

方法点拨

①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；

②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形

1

例题精讲

【例1】．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，若AB＝5，AD＝5，CD＝12，则BC＝．

变式训练

【变式1-1】．如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC

＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（）

222222222222

A．a+b＝5cB．a+b＝4cC．a+b＝3cD．a+b＝2c

【变式1-2】．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，请回答下列问题：

（1）若AB∥CD，求证：弧BD＝弧AC

（2）若AC⊥BD，CD＝4，圆O的半径为3，求AB的长；

2222

（3）在（2）的条件下求PA+PB+PC+PD的值．

【例2】．已知点P是矩形ABCD内的一点，且PA＝2，PB＝3，PC＝4，则PD＝．

2

变式训练

【变式2-1】．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对

角线AC、BD交于点O．若AD＝22

，BC＝3，则AB+CD＝．

【变式2-2】．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则

AB＝．

3

22

1．两个矩形，小矩形绕着公共点C任意旋转，在旋转到如图所示的位置时，求BE+DK的值．

22

2．如图，在四边形ABCD中，对角线分别为AC，BD，且AC⊥BD于点O，若AD＝2，BC＝6，则AB+CD

．

＝

3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，M、N是BC边上的点，BM＝MN＝NC，如果AM＝4，AN＝3，

则MN＝．

4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分

4

别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为．

5．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？

请说明理由；

2222

（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．猜想：AB+CD与AD+BC

有什么关系？并证明你的猜想．

（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，

连结CE，BG，GE