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2024年九年级中考数学专题复习:
二次函数的综合(与面积有关的问题)
1.如图,抛物线交x轴于点和,交y轴于点C.
(1)求此抛物线的解析式.
(2)问在y轴正半轴上是否存在点N使得与相似?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)若横坐标为m的点P在第一象限内的抛物线上运动,求m取何值时使得的面积最大?
2.如图,二次函数的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C.连接、,已知.
(1)求直线的函数表达式;
(2)Q为抛物线上一点,若以B、C、Q为顶点的三角形和相似,求点Q的坐标;
(3)P为抛物线上一点(异于A点),若,请直接写出P点的坐标.
3.如图,抛物线与轴相交于点,交轴于点,点是线段上一动点,轴,交直线于点,交抛物线于点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)连接,求四边形面积的最大值.
4.如图,抛物线与x轴交于两点.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)在直线上方的抛物线上是否存在点P,使得面积最大,若存在,请求出点P的坐标及面积最大值;若不存在,请说明理由;
(3)Q在抛物线对称轴上,请直接写出当为直角三角形时,点Q的坐标.
5.如图,开口向下的抛物线与轴交于点、,与轴交于点,点是第一象限内抛物线上的一点.
??
(1)求该抛物线所对应的函数解析式;
(2)求的面积;
(3)设四边形面积为S,求S的最大值.
6.如图,已知抛物线的顶点为,与轴交于点,与轴交于点,,抛物线的对称轴与轴交于点,,,.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若直线经过点,.
①平移抛物线,使其始终与直线有且只有一个公共点,平移后的顶点为,求证:所有顶点组成的图形是一条直线且与直线平行;
②为线段上不与端点重合的点,直线:过点且交直线于点,求与面积之和的最小值.
7.抛物线与轴正半轴交于,(点在点的左边)两点,与轴正半轴交于点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图,过点作轴,交抛物线于另一点,是下方抛物线上一点,过点作于点,求的值:
(3)如图,是直线下方的抛物线上一点,交抛物线于另一点,直线,交于点.若的面积为,求点的坐标.
8.如图1,已知抛物线经过的三个顶点、,点是直线下方抛物线上的动点.
(1)直接写出抛物线的解析式:
(2)过点作交于点,连接,求四边形的面积的最大值;
(3)如图2,连接交于点,当时,求点的坐标.
9.如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数的图象与轴交于点和点两点,与轴交于点.点为线段上的一动点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)如图1,求周长的最小值;
(3)如图2,过动点作交抛物线第一象限部分于点,连接,,记与的面积和为,当取得最大值时,求点的坐标.
10.综合与探究
如图,二次函数的图象与轴相交于点,,与轴交于点,对称轴是直线,交轴于点.
??
(1)求该二次函数及所在直线的解析式;
(2)如图1,在线段上是否存在一点,使得以,,为顶点的三角形与相似,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,是该二次函数图象上位于第一象限上的一动点,连接分别交,轴于点,,连接.若和的面积分别为,,请直接写出的最大值.
11.如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,其中,.
(1)求该抛物线的函数解析式;
(2)点P是直线上方抛物线上的一动点,过P作于M点,在射线上取一点N,使得,连接,求面积的最大值及此时点P的坐标.
12.如图,三角形是以为底边的等腰三角形,点A、分别是一次函数的图象与轴、轴的交点,点在二次函数的图象上,且该二次函数图象上存在一点使四边形能构成平行四边形.
(1)求、坐标,并写出该二次函数表达式;
(2)动点从A到,同时动点从到A都以每秒个单位的速度运动,问:
当运动到何处时,有?
当运动到何处时,四边形的面积最小?此时四边形的面积是多少?
13.如图,二次函数的图象的顶点的横坐标为,直线与该二次函数的图象交于,两点,其中点的坐标为,点在轴上.
(1)求的值及二次函数的表达式;
(2)求的面积;
(3)在该二次函数的对称轴上是否存在点,使得是以为腰的等腰三角形?若存在,请求出符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.
14.已知抛物线过,两点,与轴交于点,.
(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标;
(2)点为抛物线在直线下方图形上的一动点,当面积最大时,求点的坐标;
(3)若点为线段上的一动点,问:是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.
15.如图1,已知抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.
(1)求线段的长;
(2)若点P为直线上方抛物线上的一点,当的面积最大时,
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