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河北省石家庄市部分重点高中2024届高三上学期期末
数学试题
一?选择题
1.复数在复平面内对应的点位于()
A.第一象限 B.第二象限
C第三象限 D.第四象限
〖答案〗B
〖解析〗由题意知,所以该复数在复平面内对应的点为,该点在第二象限.故B正确.
故选:B.
2.若集合,则集合的子集的个数为()
A.2 B.3 C.4 D.8
〖答案〗C
〖解析〗,
所以集合A的子集的个数为4.
故选:C.
3.已知直线,则“”是“”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
〖答案〗C
〖解析〗当时,,解得或.
当时,与重合,不符合;
当时,与不重合,符合,
故“”是“”的充要条件.
故选:C
4.已知,则()
A. B.
C. D.
〖答案〗D
〖解析〗,故.
故选:D.
5.已知分别是椭圆的左?右焦点,是椭圆上一点.若,则的离心率为()
A. B. C. D.
〖答案〗A
〖解析〗因为,则,
因为,所以,解得,即椭圆的离心率为.
故选:A.
6.在等边中,,则向量在向量上的投影向量为()
A. B. C. D.
〖答案〗B
〖解析〗由题可知
,
,所以向量在向量上的投影向量为.
故选:B
7.某圆锥的轴截面是一个边长为4的等边三角形,在该圆锥中内接一个圆柱,则该圆柱的侧面积的最大值为()
A. B. C. D.
〖答案〗C
〖解析〗由题意作图如下:
由题设可知该圆锥的高.设在该圆锥中内接一个高为的圆柱,
该圆柱的底面半径为,由,则,即,所以,
故该圆柱的侧面积,
当时,侧面积取得最大值.
故选:C.
8.已知是圆上的一点,是圆上的一点,直线,过点作与的夹角为的直线,交于点,则的最小值为()
A. B. C. D.
〖答案〗C
〖解析〗设点到直线的距离为,则,所以.
因为的最小值为坐标原点到的距离减去,
所以的最小值为,则的最小值为.故C正确.
故选:C.
二?多选题
9.已知,则()
A. B.
C. D.
〖答案〗ACD
〖解析〗对A、B:因为,所以,当且仅当时,等号成立,故A正确,B错误;
对C:若,则,
所以,
当且仅当,即时,等号成立,故C正确.
对D:若,则,所以,
由及,可知,则当,即时,,故D正确.
故选:ACD.
10.古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割率,黄金分割率的值也可以用表示.下列结果等于黄金分割率的值的是()
A. B.
C. D.
〖答案〗AB
〖解析〗,故A正确;
故B正确;
,故C错误;
.故D错误;
故选:AB.
11.已知函数,且对恒成立,则()
A.
B.的图象关于点对称
C.若方程在上有2个实数解,则
D.的图象与直线恰有5个交点
〖答案〗BCD
〖解析〗对于A,因为对恒成立,所以的图象关于直线对称,
则,即,解得,故A错误;
对于B,,所以的图象关于点对称,故B正确;
对于C,当时,,
因为在上有2个实数解,所以,解得,故C正确;
对于D,直线经过点与,
而与分别是函数的零点与其图象的最高点,
如图所示:
结合图象可知的图象与直线恰有5个交点,故D正确.
故选:BCD.
12.在边长为1的正方体中,动点满足.下列说法正确的是()
A.四面体的体积为
B.若,则的轨迹长度为
C.异面直线与所成角的余弦值的最大值为
D.有且仅有三个点,使得
〖答案〗AC
〖解析〗如图所示,
连接,
由,
可得点的轨迹在内(包括边界).
因为平面平面,
所以,
故A正确.
易知平面,设与平面相交于点.
由于,
则点到平面的距离为.
若,则,
即点的轨迹是以为圆心,为半径的圆,
如图所示,
在中,,,设,
由余弦定理得,解得,
则,
所以的轨迹长度为,故B错误.
因为,所以为异面直线与所成的角,
则,所以,故C正确.
由三垂线定理可知,又平面,要使得,
则点在以为直径的圆上,所以存在无数个点,使得,故D错误.
故选:AC.
三?填空题
13.已知是等比数列的前项和,,则__________.
〖答案〗
〖解析〗设等比数列的公比为,则,
由,可得,即,所以.
故〖答案〗为:
14.点到直线的距离为1,且与圆相切,写出一个满足条件的的方程:__________.
〖答案〗(或,填其中一个即可)
〖解析〗圆可化为.
设,则.以为圆心,1为半径作圆,
以为圆心,2为半径作圆,点到直线的距离为1,即直线是圆的切线,
又这两圆
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