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湖北省武汉市武昌区2024届高三上学期期末质量检测
数学试题
一、选择题
1.命题“有些三角形是直角三角形”的否定为()
A.所有三角形都是直角三角形
B.所有三角形都不是直角三角形
C.有些三角形不是直角三角形
D.有些三角形不是锐角三角形
〖答案〗B
〖解析〗由命题否定的概念可知,命题“有些三角形是直角三角形”的否定为“所有三角形都不是直角三角形”.
故选:B
2.若复数满足,则()
A. B. C. D.
〖答案〗C
〖解析〗依题意,,
则,所以.
故选:C.
3.已知正数,满足,则()
A. B. C. D.
〖答案〗C
〖解析〗由题意得,,则,,即,
当且仅当,即时等号成立.
故选:C
4.已知,则()
A.2 B. C. D.1
〖答案〗D
〖解析〗函数,所以.
故选:D.
5.已知集合,若,则集合可以为()
A. B. C. D.
〖答案〗D
〖解析〗若,则,,A不合题意;
若,则,,B不合题意;
若,则,,C不合题意;
若,则,,D符合题意;
故选:D.
6.为了解决化圆为方问题,古希腊数学家希皮亚斯发明了“割圆曲线”,若割圆曲线的方程为,,则()
A.有最大值 B.有最小值
C.随的增大而增大 D.随的增大而减小
〖答案〗D
〖解析〗由,,
则,
因为,所以,则,
令,
则,
所以在单调递减,所以,则,
所以在单调递减,即随的增大而减小,且无最值.
故选:D
7.已知函数,,若函数在上存在最大值,但不存在最小值,则的取值范围是()
A. B. C. D.
〖答案〗D
〖解析〗若,则,
又因为,函数在上存在最大值,但不存在最小值,
所以当,即时,
只需满足,此时,
当,即时,
函数一定存在最大值,要让函数无最小值,则,
此时,
综上,,即的取值范围是.
故选:D
8.已知是坐标原点,过抛物线上异于的点作抛物线的切线交轴于点,则的外接圆方程为()
A.
B.
C.
D.
〖答案〗A
〖解析〗设过抛物线上异于的点的切线为,
又交轴于点,则,
则,整理得,
则,即
则有,可化为
解之得,则,则
设的外接圆方程为,
则,解之得
的外接圆方程为,即.
故选:A
二、选择题
9.对于随机变量,下列说法正确的有()
A.若,则
B.若,则
C.若,则
D若,则
〖答案〗ABD
〖解析〗对于A,若,则,故A正确;
对于B,若,则,故B正确;
对于C,若,则,故C错误;
对于D,若,则,故D正确.
故选:ABD
10.已知不重合的直线,,和平面,,则()
A.若,,则
B.若,,则
C.若,,,,则
D.若,,则
〖答案〗AD
〖解析〗对于A,根据平行传递性可知,若,,则,故A正确;
对于B,若,,则可能出现,或,或相交但不垂直,或异面但不垂直,故B错误;
对于C,若,,,,则或相交,故C错误;
对于D,根据面面垂直判定定理可知,若,,则,故D正确.
故选:AD
11.已知数列满足,,数列满足,则()
A.
B.
C.存在,使得
D.数列单调递增,且对任意,都有
〖答案〗ABD
〖解析〗对于A中,由,满足,
因为,可得,
当时,可得,解得,;
当时,可得,解得,;
可得,所以A正确;
对于B中,由数列满足,
当时,,
两式相减得,整理得,
又因为,所以数列是首项为,公比为的等比数列,
所以,
又由,
则,,
所以,所以B正确;
对于C中,因为数列是首项为,公比为的等比数列,
所以数列为递减数列,所以,所以C不正确;
对于D中,由数列满足,则,
所以数列为递增等比数列,且,
所以D正确.
故选:ABD.
12.已知,是曲线上不同的两点,为坐标原点,则()
A.的最小值为1
B.
C.若直线与曲线有公共点,则
D.对任意位于轴左侧且不在轴上的点,都存在点,使得曲线在,两点处的切线垂直
〖答案〗AD
〖解析〗当时,原方程即,
化简为,轨迹为椭圆.
将代入,则,
则此时,即此部分为椭圆的一半.
同理当时,原方程即,
化简为.
将代入,则或,
则此时,即此部分为圆的一部分.
作出曲线的图形如下:
对于A,最小值表示曲线上一点到原点的最小距离的平方,
当时,最小值为,当时取得,
当时,最小值为,当时取得,
则最小值为,故A正确;
对于B,当时,,显然B选项错误;
对于C,直线经过定点,当时,直线经过椭圆下顶点,如图,
显然,存在,使得直线与曲线有两个公共点,故C错误;
对于D,如图,对任意位于轴左侧且不在轴上的点,
则曲线在点处的切线斜率可以取任
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