模型35 垂美四边形模型（教师版）.pdf

模型介绍

结论：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图所示则有：AB+CD＝AD+BC2222

【证明】∵AC⊥BD，

∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，

由勾股定理得：

222222

AB+CD＝AO+BO+CO+DO，

2222222222

AD+BC＝AO+DO+BO+CO，∴AB+CD＝AD+BC

方法点拨

①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；

②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形

1

例题精讲

【例1】．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，若AB＝5，AD＝5，CD＝12，则BC＝13．

解：设AC，BD交于点O，

∵AC⊥BD，AB＝5，AD＝5，CD＝12，

222222222

∴OA+OB＝75，OA+OD＝50，OD+OC＝144，BC＝OB+OC，

222222222

∴OA+OB+OD+OC﹣（OA+OD）＝OB+OC＝169，即BC＝169，

∴BC＝13．

故答案为：13．

变式训练

【变式1-1】．如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC

＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（）

222222222222

A．a+b＝5cB．a+b＝4cC．a+b＝3cD．a+b＝2c

2

解：连接DE，如图，

设EF＝x，DF＝y，

∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，

∴DE为△ABC的中位线，

∴DE∥AB，DE＝AB，

∴＝＝＝，

∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，

∵AD⊥BE，

∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，

222

在Rt△AFB中，4x+4y＝c，①

222

在Rt△AEF中，x+4y＝b，②

222

在Rt△BFD中，4x+y＝a，③

2222

+得5x+5y＝（a+b），

②③

2222

∴4x+4y＝（a+b），④

222

﹣得c﹣（a+b）＝0，

①④

222

即a+b＝5c．

故选：A．

3

【变式1-2】．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，请回答下列问题：

（1）若AB∥CD，求证：弧BD＝弧AC

（2）若AC⊥BD，CD＝4，圆O的半径为3，求AB的长；

2222

（3）在（2）的条件下求