2024届河北省金科大联考高三上学期12月月考数学试题（解析版）.docx

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河北省金科大联考2024届高三上学期12月月考数学试题

一、单项选择题

1.已知集合，则（）

A. B. C. D.

〖答案〗B

〖解析〗解不等式，得，即，而，

则，

所以.

故选：B

2.已知，则（）

A. B. C. D.

〖答案〗C

〖解析〗因为，即，则，

所以，故.

故选：C.

3.已知为单位向量，若，则（）

A. B. C. D.

〖答案〗D

〖解析〗因为为单位向量，，

所以，则，

所以.

故选：D.

4.若函数为偶函数，则实数（）

A.1 B.0 C. D.2

〖答案〗D

〖解析〗函数的定义域为，由为偶函数，

得，

则，整理得，而不恒为0，

于是，即，解得，

所以实数.

故选：D

5.刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面为矩形，顶棱和底面平行，书中描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即（其中是刍薨的高，即顶棱到底面的距离），已知和均为等边三角形，若二面角和的大小均为，则该刍薨的体积为（）

A. B. C. D.

〖答案〗A

〖解析〗令点在平面的投影分别为，取的中点，

连接，

由平面，平面，得，

由正，得，平面，

则平面，同理平面，由四边形为矩形，得，

于是平面，而面，平面，

则，

显然，有，且都在平面，因此点共线，

显然，而平面，平面平面，

平面，则，

四边形为平行四边形，，

由，，得是二面角的平面角，即，

则，又，因此，

同理，而，则，

所以该刍薨的体积为.

故选：A

6.若，则（）

A. B. C. D.

〖答案〗B

〖解析〗由，得，解得，又，

所以.

故选：B

7.设等比数列的公比为，且，设甲：；乙：，则（）

A.甲是乙的充分不必要条件

B.甲是乙的必要不充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

〖答案〗C

〖解析〗等比数列的公比为，且，当时，，因此；

当时，有，即，而，则，

又，，于是，即，又，因此，

所以甲是乙的充要条件.

故选：C

8.已知双曲线，点，若上存在三个不同的点满足，则的离心率的取值范围为（）

A. B. C. D.

〖答案〗A

〖解析〗设，由点，，

得，

整理得，由消去得，

即，解得或，

依题意，，则有，因此双曲线的离心率，

所以的离心率的取值范围是.

故选：A

二、多项选择题

9.已知圆，圆，则下列结论正确的是（）

A.若和外离，则或

B.若和外切，则

C.当时，有且仅有一条直线与和均相切

D.当时，和内含

〖答案〗ABC

〖解析〗依题意，，

对于A，若和外离，则，解得或，故A正确；

对于B，若和外切，，解得，故B正确；

对于C，当时，和内切，故仅有一条公切线，故C正确；

对于D，当时，和相交，故D错误；

故选：ABC.

10.已知正实数满足，则（）

A. B.

C.的最大值为0 D.的最小值为

〖答案〗BC

〖解析〗对于A，，所以，

当且仅当，即时等号成立，故A错误；

对于B，由，可知，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，故正确；

对于C，由，可知，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，故C正确；

对于D，，当等号成文，

由可知，，当且仅当时等号成立，

因为前后两次不等式取等条件不一致，所以，故D错误.

故选：BC.

11.已知，若，则（）

A. B.

C. D.

〖答案〗ABD

〖解析〗因为，所以，

又在其定义域内单调递增，所以其定义域内单调递增，故，故A正确；

由A可知，所以，故B正确；

因为单调递增，

且，

根据零点存在定理，有，故C错误；

因为，

又二次函数的对称轴为1，且在区间上单调递减，

所以，故D正确，故选：ABD.

12.在三棱锥中，平面为内的一个动点（包括边界），与平面所成的角为，则（）

A.的最小值为

B.的最大值为

C.有且仅有一个点，使得

D.所有满足条件的线段形成的曲面面积为

〖答案〗ACD

〖解析〗因为平面，平面，所以，

又，所以，

取的中点，则，所以平面，

过作于，因为平面，所以，

又平面，所以平面，

所以为与平面所成角的平面角（或补角），

因为平面，平面，则，

又在中，，则，

所以，

因为，所以，，

所以点轨迹是以为圆心，以为半径的圆在内部的一部分，如图，

所以的最小值为，故正确；

由于轨迹圆部分在平面外部，所以的最大值不等于，故B错误；

因为平面，平面，所以，

若，则点在线段上，有且仅有一个点满足题意，故C正确；

动线段形成曲面为圆锥侧面积的一部分，

易知三棱锥