高等数学 第二章ppt课件 一元函数微分学.ppt

*例1.求解:原式注意:不是未定式不能用洛必达法则!洛洛*例2.求解:原式思考:如何求(n为正整数)?洛*存在(或为∞)定理2.证:仅就极限存在的情形加以证明.(洛必达法则)*1)的情形从而*2)的情形.取常数可用1)中结论*3)时,结论仍然成立.(证明略)*例3.求解:原式*例4.求解:(1)n为正整数的情形.原式洛洛洛*例4.求(2)n不为正整数的情形.从而由(1)用夹逼准则存在正整数k,使当x1时,*通分转化取倒数转化取对数转化例5.求解:原式洛*解:原式例6.求通分转化取倒数转化取对数转化洛*例7.求解:利用例5通分转化取倒数转化取对数转化*例8.求解:注意到原式洛*例3例9.求法1.直接用洛必达法则.下一步计算很繁!法2.利用例3结果.原式例3*分析:3.原式～～洛*则4.求解:令原式洛洛*解:洛*则原式=解:令(用洛必达法则)(继续用洛必达法则)*解:原式=洛*第二章函数的单调性与曲线的凹凸性第九节一、函数单调性的判定法二、曲线的凹凸与拐点*一、函数单调性的判定法若定理1.设函数则在I内单调递增(递减).在开区间I内可导,证明例1.确定函数的单调区间.解答*说明:单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.例如,2)如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的单调性.例如,*例2.证明时,成立不等式证明*定义.设函数在区间I上连续,(1)若恒有则称图形是凹的;(2)若恒有则称图形是凸的.二、曲线的凹凸与拐点连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点.拐点*定理2.(凹凸判定法)(1)在I内则f(x)在I内图形是凹的;(2)在I内则f(x)在I内图形是凸的.设函数在区间I上有二阶导数证明例3.判断曲线的凹凸性.解答*二、拉格朗日中值定理(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使拉格朗日中值定理的有限增量形式:令则推论:若函数在区间I上满足则在I上必为常数.证明证明*例2.证明等式证明例3.证明不等式证明*三、柯西(Cauchy)中值定理及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:证明*柯西定理的几何意义:注意:弦的斜率切线斜率*内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键:利用逆向思维设辅助函数费马引理*思考与练习1.填空题1)函数在区间[1,2]上满足拉格朗日定理条件,则中值2)设有个根,它们分别在区间上.方程*2.设且在内可导,证明至少存在一点使提示:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设本节完*1、费马(fermat)引理且存在证:设则证毕*2、罗尔（Rolle）定理满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)使证:故在[a,b]上取得最大值M和最小值m.若M=m,则因此在(a,b)内至少存在一点*若Mm,则M和m中至少有一个与端点值不等,不妨设则至少存在一点使则由费马引理得*例1.证明方程有且仅有一个小于1的正实根.证:1)存在性.则在[0,1]连续,且由零点定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假设不真!设*二、拉格朗日中值定理(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)