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第6讲直角三角形

看不起欧氏几何，就好像是从国外回来看不起自己的故乡。

——H.G.弗德

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有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。它的两个锐角互为余角；两直角边的平方和等于斜边的平方（即勾股定理，我们会在另外一讲专题讨论）。

关于直角三角形有如下两个重要的定理：

①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

②直角三角形中，如果有一个锐角是30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

上述两个命题的逆命题也是成立的：

①如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；

②直角三角形中，若有一条直角边等于斜边的一半，则它所对的角等于30o

判定两个直角三角形全等，除了一般的三角形全等的方法外，还有“斜边、直角边”的方法。

经典例题解析

例1．（2002年湖北省黄冈市初中数学竞赛试题）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过点B的一条直线BE折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点为D，要使点D恰为AB的中点，问在图中还需添加什么条件？

（1）写出两个满足边的条件；

（2）写出两个满足角的条件；

（3）写出一个满足除过、角以外的其他条件。

解要使D为AB的中点，可添加下列条件之一：

角的关系：

①∠A＝∠DBE； ②∠A＝∠CBE；

③∠DEA＝∠DEB； ④∠DEA＝∠BEC；

⑤∠A＝30°； ⑥∠CBD＝60°；

⑦∠CED＝120°； ⑧∠AED＝60°。

边的关系：

①AB＝2BC；②AC＝BC；③2AC＝AB； ④BE＝AE。

三角形的关系：△BEC≌△AED。

例2．（1995年广州，武汉，福州，西安，洛阳五市初中数学联赛试题）如图，D，E是等边△ABC两边上的两个点，且AE=CD，

连结BE，AD交于点P，过B点作BQ⊥AD于Q，

求证：BP：PQ=2。

证明在△CAD与△ABE中，CA=AB，

∠C=∠EAB，CD=AE，

故△CAD≌△ABE。于是∠CAD=∠ABE。

于是∠QPB=∠PAB+∠PBA=∠PAB+∠PAE=60o。

又BQ⊥AD，所以∠QBP=30o，于是PQ=BP，即BP：PQ=2。

例3．(1986年成都市初二数学竞赛试题)已知△ABC中,AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于E，求证：BE=3AE。

证明因AB=AC，∠A=120°，故∠B=∠C=30°。又D是BC的中点，故AD⊥BD。

在Rt△ADB中，AD=AB。

因DE⊥AB，∠ADE=90o-∠BAD=∠B=30°，所以AE=AD。于是BE=AB-AE=2AD-AE=4AE-AE=3AE。

例4．如图,已知△ABC中,∠B＝30°,∠C＝15°,D是BC上一点,

∠CAD＝90°,求证：CD＝2AB.

证明取DC中点M,连结AM,则AM=NC=MD，于是∠CAM＝∠C，所以∠AMD＝∠CAM+∠C=2∠C＝30°＝∠B,即AM=AB。故CD＝2AM＝2AB.

例5．如图，ΔABC中，BD，CE是两条高，

F，G分别是BC，DE的中点，求证：FG⊥DE。

证明如图，连接FD,FE。

∵BD⊥AC,F为BC的中点，

∴DF=BC.

同理，EF=BC,∴DF=EF.

而G为DE的中点，∴FG⊥DE.

例6（1993年北京市初中数学竞赛试题）△ABC中，∠B=900，M为AB上一点，使AM=BC，N为BC上一点，使得CN=BM，连接AN，CM交于P点，试求∠APM的度数，并写出你的推理证明的过程。

解如图，过C作CD∥AB，且CD=AM，连接AD，DN，则四边形AMCD为平行四边形，有AD∥CM，AD=CM。

因AM=BC，故DC=BC，

又∠DCN=∠B=900，CN=BM，故Rt△DCN≌Rt△CBM,

所以DN=CM.从而有DN=AD，

而且∠ADN=∠MQN=∠MCB+∠QNC=∠MCB+∠CMB=900,

故△AND是等腰直角三角形，∠DAN=450.于是∠APM=∠DAN=450.

例7.(1998-1999学年度天津市初二数学竞赛试题)如图所示．∠A=90°，AB=AC，M是AC边的中点，AD⊥BM交BC于D，交BM于E．求证：∠AMB=∠DMC．

分析从图形观察∠AME与∠DMC所在的两个三角形△AME与△DMC显然不全等，但是这两个三角形中有其他相等元素：AM=MC．若能利用已知条件在现有的三角形中构造出新的对应相等的元素，形成全等三角形，这是理想不过的事．由于∠C=45°，∠A=90°，若作∠A的平分线AG，则在△AGM中，∠GAM=