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区间估计

区间估计基本概念

单总体参数区间估计

双总体参数区间估计

非参数区间估计方法

区间估计在统计分析中应用

区间估计评价指标及优化方法

contents

目

录

01

区间估计基本概念

区间估计是在点估计的基础上，给出总体参数估计值的一个区间范围，该区间通常由样本统计量加减估计误差得到。

区间估计基于概率论中的大数定律和中心极限定理，通过构造包含总体参数的置信区间，对总体参数进行推断。

原理

定义

03

置信水平与置信区间的关系

置信水平越高，置信区间越宽，估计的精度越低；反之，置信水平越低，置信区间越窄，估计的精度越高。

01

置信水平

指总体参数落在某一区间内的概率，常用1-α表示，α为显著性水平。

02

置信区间

由样本统计量构造的总体参数的估计区间，其上下限称为置信界限。

用样本统计量的某个取值直接作为总体参数的估计值。

点估计

在点估计的基础上，给出总体参数的一个区间范围，以反映估计的不确定性。

区间估计

点估计提供的信息较少，仅给出总体参数的一个具体数值；而区间估计提供更多的信息，不仅给出总体参数的一个区间范围，还能反映估计的精度和可靠性。

比较

02

单总体参数区间估计

已知总体方差

当总体方差已知时，可以使用z统计量进行区间估计。此时，置信区间的计算公式为：样本均值±z值×(总体标准差/√样本量)。

未知总体方差

当总体方差未知时，可以使用t统计量进行区间估计。此时，置信区间的计算公式为：样本均值±t值×(样本标准差/√样本量)。

大样本情况

当样本量足够大时（通常要求np和n(1-p)都大于5），可以使用z统计量进行比例参数的区间估计。此时，置信区间的计算公式为：样本比例±z值×√(样本比例×(1-样本比例)/样本量)。

小样本情况

当样本量较小时，可以使用校正的z统计量或者Wilson置信区间进行比例参数的区间估计。

VS

当总体服从正态分布时，可以使用卡方分布法进行方差的区间估计。此时，置信区间的计算公式为：(n-1)s²/χ²上α/2,n-1≤σ²≤(n-1)s²/χ²下α/2,n-1，其中s²为样本方差，χ²上α/2,n-1和χ²下α/2,n-1分别为卡方分布的上α/2和下α/2分位数。

F分布法

当两个独立样本分别来自方差相等的正态分布总体时，可以使用F分布法进行两个总体方差的区间估计。此时，置信区间的计算公式为：s1²/F上α/2,n1-1,n2-1≤σ1²/σ2²≤s1²/F下α/2,n1-1,n2-1，其中s1²和s2²分别为两个样本的方差，F上α/2,n1-1,n2-1和F下α/2,n1-1,n2-1分别为F分布的上α/2和下α/2分位数。

卡方分布法

03

双总体参数区间估计

两个总体应相互独立，且服从正态分布，方差已知或未知。

前提条件

估计方法

置信水平选择

根据样本数据计算两个样本均值之差，并利用t分布或正态分布的性质构造置信区间。

通常选择95%或99%的置信水平，以保证估计结果的可靠性。

03

02

01

两个总体应相互独立，且服从二项分布，总体比例未知。

前提条件

根据样本数据计算两个样本比例之差，并利用正态分布的性质构造置信区间。

估计方法

为保证估计精度，每个样本的样本量应足够大，通常要求np≥5且n(1-p)≥5。

样本量要求

前提条件

两个总体应相互独立，且服从正态分布，均值未知但方差存在。

估计方法

根据样本数据计算两个样本方差之比，并利用F分布的性质构造置信区间。

置信水平选择

通常选择95%或99%的置信水平，以保证估计结果的可靠性。同时，需要注意F分布的非对称性对置信区间的影响。

04

非参数区间估计方法

通过从原始样本中重复抽样，生成大量自助样本，进而计算统计量的分布，以获得对总体参数的区间估计。

自助法原理

适用于样本量较小或总体分布未知的情况，常用于估计偏态分布、分位数、中位数等统计量的置信区间。

自助法应用

简单易行，无需对总体分布做假设，适用于各种复杂情况。

优点

对于极端值敏感，可能导致置信区间过宽或过窄。

缺点

刀切法原理

通过逐一剔除原始样本中的观测值，计算剩余样本的统计量，进而估计总体参数的偏差和方差，以获得区间估计。

优点

对于样本量的要求较低，可充分利用样本信息。

刀切法应用

适用于样本量适中且总体分布未知的情况，常用于估计均值、比例等统计量的置信区间。

缺点

对于极端值较为敏感，可能导致估计结果的不稳定。

交叉验证法原理

将原始样本分为训练集和验证集，通过多次重复抽样和验证，计算统计量的分布，以获得对总体参数的区间估计。

交叉验证法应用

适用于样本量较大且总体分布未知的情况，常用于估计模型的预测性能、参数稳定性等。

优点

可以有效利用样本信息，减少过拟合现象，提高估计结果的稳定性和可靠性。

缺点

计算量较大