异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角专题复习与提高.docx

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空间角专题复习

●知识梳理

一、异面直线所成的角及求法

定义：在空间任意取一点，过该点分别作两异面直线的平行线所成的锐角或直角称为两异面直线所成的角．

π

取值范围：若θ是异面直线a和b所成的角，则其取值范围是θ∈(0，2]，当

θ π

＝2时，称异面直线a和b垂直，记为a⊥b.

求法：平移法：将两异面直线中的一条或两条平移至某特殊点后，构造三角形，通过解该三角形而求其大小；

二、直线与平面所成的角及求法

定义：设l和α分别表示直线与平面．①若l∥α或l α，则称直线l和平面

α所成的角为0；②若l⊥α，则称l与α所成的角为?；③若l与α相交，则l

2

与l在α内的射影所成的锐角为直线l与平面α所成的角．

取值范围：设θ是直线l与平面α所成的角，则θ的取值范围是

?

[0, ]．

2

求法：定义法：探寻直线l在平面α内的射影，(通常由垂直法找射影)构造直线l与平面α所成角对应的直角三角形，通过解该直角三角形而求得直线与平面所成的角．

三、二面角及求法

定义：在二面角的棱上任取一点，分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角，且定义平面角的大小为该二面角的大小．

取值范围：规定二面角的取值范围为[0，π]．

求法：定义法：分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角

练习提升

如图，E、F分别是三棱锥P－ABC的棱AP、BC的中点，PC＝10，AB＝6，EF＝7，则异面直线AB与PC所成的角为 ( )

A．30° B．45°

C．60° D．90°

答案：C

11 1 1 1 1 1 1已知长方体ABCD－ABCD中，AB＝BC＝4，CC＝2，则直线BC和平面DBBD所成的角的正弦值

11 1 1 1 1 1 1

3 B. 5

2 2

C. 10 D. 10

5 10

答案：C

如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将菱形沿对角线AC

折起，使折起后BD＝1，则二面角B－AC－D的余弦值为 ( )1 1

A.3 B.2

2 23

2 2

3

3

2

答案：A

11 1 1 1 11在正方体ABCD－ABCD中，BC与对角面DDBB所成角的大小是 ( )A．15°

11 1 1 1 11

C．45° D．60°

答案：B

11 1 1 1 1 11 1 1 1如图，ABCD－ABCD是长方体，AA＝a，∠BAB＝∠BAC＝30°，则AB

11 1 1 1 1 11 1 1 1

11所成的角为 ，AA与BC所成的角为 ．

1

1

答案：300，450

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是 ；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是 ；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是 ．

答案 (1)45° (2)30° (3)90°

设直线与平面所成角的大小范围为集合P，二面角的平面角大小范围为集合Q，异面直线所成角的大小范围为集合R，则P、Q、R的关系为( )

A．R＝P?Q B．R?P?Q

C．P?R?Q D．R?P＝Q

答案：B

设△ABC和△DBC所在两平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝a，∠CBA＝∠CBD＝120°，则AD与平面BCD所成角的大小为( )

A．30° B．45°

C．60° D．75°

解析：作AO⊥CB交CB的延长线于O，连接OD，则OD即为AD在平面BCD内的射影，∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．

∵AO＝OD＝3，

2a

∴∠ADO＝45°.

答案：B

如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P—BC—A的大小为 ( )

0°

答案 C

B．30° C．45° D．15°

如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AD，则平面PAB与平面PCD所成的二面角的度数为( )

A．90° B．60°

C．45° D．30°

解析：∵AB∥CD，

∴面PAB与平面PCD的交线l必为过P点与AB平行的直线．

∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥AB，PA⊥CD，又CD⊥AD，

∴DC⊥平面PAD，

∴DC⊥PD，

∴