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第7讲整式的乘法与乘法公式

学习数学的惟一方法是做数学。

??????????????????????????????????????????????——哈尔莫斯

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整式的乘法包括单项式乘单项式，单项式乘多项式和多项式乘多项式。

乘法公式是多项式相乘得出的，它们是既有特殊性，又有规律性和实用性的具体结论．常用的公式有：

（n为奇数）

经典例题解析

例1．（第16届“希望杯”初二第2试题）计算：

×。

解原式

例2．(2005年四川省初中数学联赛决赛八年级试题)计算：

(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1＝＿＿＿

解原式=(2-1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1

=(22-1)(22＋1)(24＋1)…(232＋1)＋1

=(24-1)(24＋1)…(232＋1)＋1

=……

=(232-1)(232＋1)＋1

=(264-1)＋1=264

例3．(1999年武汉市初中数学竞赛试题)设x,y为实数，且满足

，

则x+y=()

(A)1(B)-1(C)2(D)-2

解设x-1=a,y-1=b,则有，

将两式相加，得a3+b3+1998a+1998b=0，

即(a+b)[(a2-ab+b2)+1998(a+b)=0,从而(a+b)(a2-ab+b2+1998)=0

注意到a2-ab+b2+1998=

所以a+b=0,也就是(x-1)+(y-1)=0,x+y=2,故选C。

例4有下面三组代数式：

；；.

从每组中取出一个单项式相乘,则所有这样的三个单项式的积的和等于（）.

解.

根据多项式乘法的规律,所求三个数的积的总和为:

评注多项式乘以多项式,是用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项,然后再合并同类项，本题是这种法则的逆用.

例5．（2002年全国初中数学联赛试题）如果对于不小于8的自然数n，当3n+l是一个完全平方数时，n+l都能表示成k个完全平方数的和，那么k的最小值为()

(A)1(B)2(C)3(D)4

解由3n+1=a2，知3不能整除a．于是a=3t±1，从而3n+1=9t2±6t+l,n=3t2±2t,

即n+1=t2+t2+(t±1)2，从而k=3．故选(C)

例6．（2002年浙江绍兴竞赛题）已知均为正数，且

M、N之间的关系是()．

(A)MN(B)MN(C)M=N(D)不能确定

解令则

从而MN，故应选(B)．

例7．（2000年湖北黄冈初中数学竞赛试题）若求证：

证明：∵∴即

∵∴，于是

即所以或。

于是x=m,y=n或x=n,y=m，都有

例8．（2000年上海市初中数学竞赛试题）若n的十进制表示为则n3的十进位制表示中含有数码9的个数是．

解因为所以

又，

故n3共含有19+20=39个9．

同步训练

一选择题

1．（2008年第6届“创新杯”数学邀请赛试题）若x是不为0的实数，已知

则M与N的大小关系是

A．MNB．MNC．M=ND．无法确定

2．（第1届“创新杯”数学邀请赛试题）若2x+5y-3=0,则4x·32y=().

（A）32（B）16（C）8（D）4

3．（2005年河南省初二数学竞赛试题）已知(a＋b)=8，(a－b)=12.则a＋b的值为()

（A）10（B）8（C）20（D）4

4．（第4届“创新杯”数学邀请赛试题）己知x是无理数，(x+1)(x+3)是有理数，则

①x2是有理数；②（x-1）(x-3)是无理数；

③（x+1）2是有理数；④（x+2）2是无理数

上述4个结论中，正确的有（）

（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个

5．（2001年北京市初二数学竞赛试题）若p是两位的正整数，则可能成立的等式是()．

二填空题

6．（2002年我爱数学初中生夏令营试题）计算:20033-20013-6×20032+24×1001=.

7．（第13届“希望杯”数学邀请赛试题）如果那么

8．（第一届“创新杯”数学邀请赛试题）有三个连续的奇数