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2024年九年级中考数学专题复习：圆的切线证明
1．如图，在中，，于点D，E是AC上一点，以为直径的交于点F，连接，，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
、
2．如图，在中，为非直径弦，点D是的中点，是的角平分线．
(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若，时，求弦与围城的弓形面积．
3．如图，点为以为直径的半圆上一点，连接，并延长到点，使得，半径交于点，连接交于点．
??
(1)求证：是的切线；
(2)若，且，求的长度．
4．如图，已知等腰，，以为直径作交于点D，过D作于点E，交延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
5．已知：如图，直线l与相离，于点P，交于点A，点B是上一点，连接并延长，交直线l于点C，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
6．如图，点是的边上一点，以点为圆心，为半径作，与相切于点，连接，，交于点，连接并延长交的延长线于点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
7．如图，是的直径，是的弦．
(1)尺规作图：过点作的切线，交的延长线于点（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若，求的长．
8．如图，的顶点在上，为对角线，的延长线交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若是的切线，，求的长．
9．如图，中，，点E为上一点，以为直径的上一点D在上，且平分．
(1)证明：是的切线；
(2)若，求的长．
10．如图，已知的弦等于半径，连接、，并延长到点，使得，连接，过点作于点，延长交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
11．如图，线段经过的圆心交于，两点，为的弦，连接，，连接并延长交于点，连接交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
12．如图，为的直径，为上一点，．
??
(1)求证：为的切线．
(2)当时，求的长．
13．如图，已知是的直径，于，是上的一点，交于，，连接交于．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求、的长．
14．如图，是的直径，是弦，点D在的延长线上，且，的切线与的延长线交于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为2，，求的长．
15．如图，已知是的直径，点P在的延长线上，弦平分，且于点D．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求弧的长．
16．如图，为的直径，于，在上，连接，，延长与的延长线交于，在上，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
17．如图，为的直径，点C是圆上一点，的平分线交于点E，过点E作交的延长线于点D．
(1)求证：为切线；
(2)若，，求的长．
18．如图，是的外接圆，点在延长线上，且满足．
(1)求证：是的切线；
(2)若是的平分线，，，求的半径．
参考答案：
1．
【分析】此题重点考查圆周角定理、切线的判定定理、勾股定理、三角形的中位线定理、等腰三角形的“三线合一”、线段的垂直平分线的性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
(1)由，于点D，得，而，根据三角形的中位线定理得，则，即可证明是的切线；
(2)连接，由，得到，由垂直平分，得，由是的直径，得，则，．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
又∵，
∴．
∴，即．
又∵是的半径，
∴是的切线．
（2）连接，
∵，，
∴．
∵，，即垂直平分，
∴．
又∵是的直径，
∴．
中，
中，
2．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】此题考查了解直角三角形、切线的判定以及扇形的面积．注意掌握辅助线的作法，．
（1）点D是的中点，可以得到，即可得到，再根据角平分线的定义得到，进而得到结论；
（2）连接、、，则可得到，然后根据等边对等角可以得到，即可得到结论
（3）先求出，继而利用求得答案．
【详解】（1）解：如图，∵点D是的中点，
∴，
∴，
又∵是的角平分线，
∴，
∴；
（2）证明：如图，连接、、，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
即，
∵是的半径，
∴是的切线；
（3）解：由（2）可知，，
在中，，，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴．
3．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据为半圆的直径，得出，根据已知条件可得，即可得证；
（2）根据垂径定理得，进而根据已知可得，得出，根据得出，进而得出是等边三角形，勾股定理求得，根据等边三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）证明：∵为半圆的直径，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∴是的切线；
（2）解：如图所示，连接，
??
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵为半圆的直径，
∴，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，弧与弦的关系，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，等边三角形的性质与判定，垂径定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
4．(1)证明
(2)
【分析】本题
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