空间向量的混合积和数量积.pptx

空间向量的混合积和数量积

汇报人：XX

2024-02-02

向量基本概念回顾

空间向量数量积

空间向量混合积

数量积与混合积关系探讨

空间向量应用场景举例

总结与展望

目录

01

向量基本概念回顾

向量是既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。

向量定义

向量满足平行四边形法则和三角形法则，即两个向量相加时，可以将它们的起点放在一起，以两个向量为邻边作平行四边形，从共同起点出发的对角线就是它们的和向量；或者以两个向量为邻边作三角形，从共同起点出发到第三个顶点的向量就是它们的和向量。

向量性质

加法运算

01

向量的加法运算满足交换律和结合律，即两个向量相加时，交换它们的位置和顺序，和向量不变；多个向量相加时，任意改变它们的组合方式，和向量也不变。

数乘运算

02

数乘向量是指将向量与实数相乘，得到一个新的向量，其方向与原向量相同或相反，大小等于原向量的大小与实数的绝对值的乘积。数乘运算满足分配律和结合律。

数量积运算

03

两个向量的数量积是一个实数，等于它们的大小与它们夹角的余弦的乘积。数量积运算满足交换律、分配律和与数乘的结合律。

空间直角坐标系

在空间中，选择三条互相垂直且有公共原点的数轴作为坐标轴，建立空间直角坐标系。其中，x轴、y轴和z轴分别表示水平方向、竖直方向和垂直于水平面的方向。

向量的坐标表示

在空间直角坐标系中，一个向量可以用它的终点坐标减去起点坐标来表示，即向量的坐标等于终点坐标减起点坐标。向量的坐标表示方便进行向量的加、减、数乘和数量积等运算。

02

空间向量数量积

定义

两个向量的数量积是一个标量，其大小等于这两个向量的模长与它们之间夹角的余弦的乘积，记作$mathbf{a}cdotmathbf{b}$。

性质2

数量积满足交换律，即$mathbf{a}cdotmathbf{b}=mathbf{b}cdotmathbf{a}$。

性质1

$mathbf{a}cdotmathbf{b}=|mathbf{a}|cdot|mathbf{b}|costheta$，其中$theta$为两向量之间的夹角。

性质3

数量积满足分配律，即$(mathbf{a}+mathbf{b})cdotmathbf{c}=mathbf{a}cdotmathbf{c}+mathbf{b}cdotmathbf{c}$。

坐标计算法

在直角坐标系中，两个向量的数量积可以通过它们的坐标直接计算，即$mathbf{a}cdotmathbf{b}=a_xcdotb_x+a_ycdotb_y+a_zcdotb_z$。

直接计算法

根据数量积的定义，直接计算两个向量的模长和夹角的余弦值，然后相乘得到数量积。

矩阵计算法

对于多个向量的数量积，可以通过构造矩阵并利用矩阵运算来简化计算过程。

通过计算两向量的数量积并除以它们的模长之积，可以得到两向量之间的夹角的余弦值，从而求出夹角。

计算两向量的夹角

如果两向量的数量积为零，则它们垂直。

判断两向量是否垂直

一个向量在另一个向量上的投影的长度可以通过数量积来计算。

计算向量的投影

向量的模长可以通过它与自身的数量积的平方根来计算。

计算向量的模长

03

空间向量混合积

混合积满足交换律、分配律，且与向量的顺序有关。当三个向量共面时，混合积为零。

性质

三个向量$vec{a},vec{b},vec{c}$的混合积是一个数，记作$(vec{a}timesvec{b})cdotvec{c}$，其中$times$表示向量的外积，$cdot$表示向量的内积。

混合积定义

混合积的绝对值表示以这三个向量为棱的平行六面体的体积。

几何意义

坐标运算

设$vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$，$vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$，$vec{c}=(c_1,c_2,c_3)$，则$(vec{a}timesvec{b})cdotvec{c}=(a_2b_3-a_3b_2)c_1+(a_3b_1-a_1b_3)c_2+(a_1b_2-a_2b_1)c_3$。

向量运算

先计算两个向量的外积，得到一个新的向量，再与第三个向量进行内积运算。

当混合积大于零时，表示三个向量的顺序与右手系相同；当混合积小于零时，表示三个向量的顺序与左手系相同；当混合积等于零时，表示三个向量共面。

判断向量的空间位置关系

混合积的绝对值表示以这三个向量为棱的平行六面体的体积，符号表示体积的方向。

计算平行六面体的体积

通过计算点与平面上三个点的向量混合积，可以判断点是否在平面内。

判断点是否在平面内

04

数量积与混合积