函数极限的计算与证明方法.pptx

汇报人：XX2024-02-05函数极限的计算与证明方法

目录函数极限基本概念与性质数列极限在计算函数极限中应用洛必达法则在计算不定型极限中应用泰勒公式在计算复杂函数极限中应用夹逼定理和单调有界原理在证明极限存在性中应用总结回顾与拓展延伸

01函数极限基本概念与性质

函数极限定义及表示方法定义设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义。如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0|x-x0|δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式：|f(x)-A|ε，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限。表示方法函数f(x)的极限可以表示为lim(x→x0)f(x)=A或f(x)→A(当x→x0)。

函数在某一点的极限存在的充要条件是函数在该点左右两侧极限均存在且相等。存在条件函数极限具有唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性和迫敛性等基本性质。性质函数极限存在条件与性质

单侧极限与双侧极限关系单侧极限包括左极限和右极限，分别表示函数在某一点左侧和右侧的极限值。双侧极限即通常所说的函数极限，表示函数在某一点左右两侧极限均存在且相等。关系如果函数在某一点的左极限和右极限均存在且相等，则函数在该点的极限存在且等于左右极限值；否则，函数在该点的极限不存在。

无穷小量在自变量的某个变化过程中，绝对值趋于零的变量称为无穷小量。无穷大量在自变量的某个变化过程中，绝对值趋于正无穷的变量称为无穷大量。关系无穷小量与无穷大量是相对的，一个变量在某一变化过程中是无穷小量，在另一变化过程中可能是无穷大量。同时，无穷小量和无穷大量之间也存在一定的关系，如无穷小量的倒数是无穷大量等。无穷小量与无穷大量概念

02数列极限在计算函数极限中应用

有界性收敛数列一定是有界的。极限的四则运算法则数列收敛时，对其进行有限次四则运算后得到的数列仍收敛，且极限也按相应法则计算。保号性若数列某项起以后所有项均大于（或小于）某个数，则其极限也大于（或小于）该数。极限的唯一性数列收敛于一个极限时，该极限是唯一的。数列极限基本定理回顾

利用数列极限求函数极限方法夹逼准则若存在两个收敛于同一极限的数列，使得在某项之后，原数列的所有项都位于这两个数列对应项之间，则原数列也收敛于该极限。单调有界准则单调递增（或递减）且有上界（或有下界）的数列必定收敛。转化为已知极限通过变量替换、恒等变形等手段将原极限转化为已知极限进行计算。利用无穷小性质在自变量的某种变化趋势下，函数值的极限可以通过其对应的无穷小量的性质来求解。

解答通过裂项相消法，将原式转化为$lim_{ntoinfty}(frac{1}{n}-frac{1}{n+1})$，进而求得极限为0。解答利用特殊极限$lim_{xto0}frac{sinx}{x}=1$，直接得出答案。解答通过取对数、洛必达法则等步骤，求得极限为$e$。例题1求极限$lim_{ntoinfty}frac{1}{n(n+1)}$。例题2求极限$lim_{xto0}frac{sinx}{x}$。例题3求极限$lim_{xtoinfty}(1+frac{1}{x})^x$。010203040506典型例题分析与解答

在进行变量替换时，要注意替换前后的等价性，避免改变原极限的值。在利用夹逼准则时，要确保所找的上下界数列是收敛的，且极限相等。注意数列极限与函数极限的区别与联系，不要混淆概念。在利用单调有界准则时，要证明数列的单调性和有界性。在利用无穷小性质时，要注意无穷小量的阶数关系，避免出现错误结论。注意事项及易错点提示0103020405

03洛必达法则在计算不定型极限中应用

洛必达法则的定义对于满足一定条件的函数，在求解其极限时，可以通过对其求导来简化计算。洛必达法则的使用条件函数在极限点处必须为不定型（如0/0型或∞/∞型），且函数在该点附近可导。洛必达法则的推导过程基于柯西中值定理进行推导，通过构造辅助函数并应用中值定理得到结论。洛必达法则基本内容回顾

0/0型不定极限分子和分母都趋向于0的极限类型，可以采用洛必达法则进行求解。∞/∞型不定极限分子和分母都趋向于无穷的极限类型，同样可以采用洛必达法则进行求解。其他类型的不定极限如0*∞型、∞-∞型等，需要通过适当的变换转化为0/0型或∞/∞型后再进行求解。不定型极限分类及求解策略030201

求解(sinx)/x在x→0时的极限，分析：此题为0/0型不定极限，可以直接应用洛必达法则求解。例题1求解(x^2-4x+4)/(x-2)在x→2时的极限，分析：此题虽然看似为0/0型不定极限，但实际上可以通过化简后直接求解。例题2求解(e^x-1)/x在x→0时的极限，分析：此题为0/0型不定极限，应用洛必达法则求解时