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2024年九年级中考数学专题复习:旋转综合压轴题
1.在中,,,为平面内的一点.
(1)如图1,当点在边上时,,且,求的长;
(2)如图2,当点在的外部,且满足,求证:;
(3)如图3,,当、分别为、的中点时,把绕点顺时针旋转,设旋转角为,直线与的交点为,连接,直接写出旋转中面积的最大值.
2.【问题发现】
(1)如图1所示,中,,,点D为边上一点,且,过点D作,交BC边于点E,的数量关系为__________,直线所夹锐角为:____________;
【知识迁移】
(2)如图2所示,将(1)中的绕点C顺时针旋转,连接,两线交于点P,请问(1)中的结论还成立吗?请说明你的理由;
【经验升华】
(3)如图3所示,,,其他条件同(1),在绕点C的旋转过程中,请直接写出三点共线时AE的值.
3.在中,将线段绕点逆时针旋转得到线段,连接.
(1)如图1,若,,,求线段的长度.
(2)如图2,点为线段的中点,连接,若,猜想,,的数量关系.
(3)如图3,当时,过点作射线的垂线,垂足为点.点为直线上的一个动点,将沿直线翻折至所在平面内得到,连接,取的中点为点,连接,当线段取得最小值时,将沿直线翻折至所在平面内得到,过点作线段的垂线,垂足为点,连接,直接写出的值.
4.综合与实践
数学活动课上,同学们以“正方形与旋转”为主题开展探究活动.
【探索发现】
(1)如图1,在正方形中,点是边上一点,于点,将线段绕点逆时针旋转得到线段,连接,
可证:.请写出证明过程;
【深入思考】
(2)在(1)的条件下,如图2,若延长,交于点,试猜想线段,,之间的数量关系,并证明你的猜想;
【拓展延伸】
(3)在(2)的条件下,如图3,连接,将线段绕点逆时针旋转得到线段,点在上,试猜想,的数量关系,并证明你的猜想.
5.【综合与探究】
问题情境:综合实践课上,老师让同学们探究“平面直角坐标系中图形的旋转问题”.如图,在平面直角坐标系中,四边形为矩形,点在x轴上,点在y轴上.操作发现:以点A为中心,顺时针旋转矩形,得到矩形,点O,B,C的对应点分别为D,E,F.
(1)如图①,当点D落在边上时,求D点的坐标;
【继续探究】
(2)如图②,当点D落在线段上时,与交于点H,
①求证:;
②求点H的坐标.
【拓展探究】
(3)如图①,点M是x轴上任意一点,点N是平面内任意一点,是否存在点N,使以A、D、M、N为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出N点的坐标;若不存在,请说明理由.
6.问题情境:数学课上,老师引导同学们以“正方形中线段的旋转”为主题开展数学活动.已知正方形中,,点E是射线上一点(不与点C重合),连接,将绕点E顺时针旋转得到,连接.
特例分析:(1)如图1,当点E与点D重合时,则=;
深入谈及:(2)当点E不与点D重合时,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请在图2与图3中选择一种情况进行证明;若不成立,请说明理由;
7.已知四边形中,,,,,,绕B点旋转,它的两边分别交,(或它们的延长线)于E,F.当绕B点旋转到时,如图1,易证.(不用证明)
(1)当绕B点旋转到时,如图2,(1)中结论是否成立?若成立,请给予证明;
(2)当绕B点旋转到时,如图3,(1)中结论是否成立?若不成立,线段,,又有怎样的数量关系?请给予证明.
8.在中,,是边上一动点,连接,将绕点顺时针旋转至的位置,使得,连接,交于点,连接.
(1)如图1,当时,若平分,求证:;
(2)如图2,取的中点,连接.猜想与存在的数量关系,并证明你的猜想;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接.若,当,时,请直接写出的值.
9.如图,在中,,,于点D.点G是射线AD上一点,过G作分别交AB、AC于点E、F:
??
(1)如图①所示,若点E,F分别在线段AB,AC上,当点G与点D重合时,求证:;
(2)如图②所示,当点G在线段AD外,且点E与点B重合时,猜想AE,AF与AG之间存在的数量关系并说明理由;
(3)当点G在线段AD上时,请直接写出的最小值.
参考公式:
10.通过类比联想,引申拓展研究典型题目,可达到解一题知一类的目的,下面是一个案例,请补充完整.原题:如图1,点E、F分别在正方形的边、上,,连接,试猜想、、之间的数量关系.
??????
(1)把绕点逆时针旋转至,可使与重合,由,得,,即点F、D、G共线,易证≌__________,故、、之间的数量关系为__________.
(2)如图2,点E、F分别在正方形的边、的延长线上,.连接,试猜想、、之间的数量关系为__________,并给出证明.
(3)如图3,在中,,,点D、E均在边上,且.若,,直接写出的值和的长.
11.在平面直角坐标系中,三角形的顶点,,,将绕点A按逆时针方向旋转,得到,点B,O的对应点分别为C,D,旋转
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