数学中的概率与事件.pptx

汇报人:XX2024-01-27数学中的概率与事件

目录CONTENCT概率论基本概念离散型随机变量及其分布连续型随机变量及其分布随机过程简介数理统计基础知识概率论在生活中的应用举例

01概率论基本概念

概率定义概率性质概率定义及性质概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常表示为P(A)，其中A表示随机事件。概率具有非负性、规范性（所有可能事件的概率之和为1）和可列可加性（互不相容事件的并的概率等于各事件概率之和）。

事件之间可能存在包含、相等、互斥和独立等关系。事件关系事件的运算包括并、交、差和逆等，分别对应着逻辑运算中的“或”、“与”、“非”和“异或”。事件运算事件关系与运算

条件概率是指在某个条件下，某事件发生的概率。表示为P(A|B)，表示在B发生的条件下，A发生的概率。两个事件A和B如果满足P(AB)=P(A)P(B)，则称A和B是相互独立的。独立事件意味着一个事件的发生不会影响另一个事件的发生概率。条件概率与独立性独立性条件概率

全概率公式如果事件B1，B2，…Bn构成一个完备事件组，即它们两两互不相容，其和为全集；并且P(Bi)大于0，则对任一事件A有P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)。贝叶斯公式贝叶斯公式是描述两个条件概率之间的关系，也称为逆概率公式。表示为P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)/∑P(A|Bj)P(Bj)，其中i,j=1,2,...,n。贝叶斯公式常用于根据已知信息更新某事件的概率估计。全概率公式与贝叶斯公式

02离散型随机变量及其分布

取值可数离散型随机变量的取值可以是有限个或可数个。概率分布每个取值的概率可以通过概率分布函数来描述。离散型随机变量定义

二项分布泊松分布几何分布描述n次独立重复试验中成功次数的概率分布，其中每次试验成功的概率为p。描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布，其中单位时间内事件发生的平均次数为λ。描述进行一系列相互独立的试验，首次取得成功所需要的试验次数的概率分布。常见离散型随机变量分布

离散型随机变量的期望是其所有可能取值与其对应概率的乘积之和，反映了随机变量取值的平均水平。期望描述随机变量取值与其期望的偏离程度，方差越小，随机变量取值的稳定性越好。方差期望与方差计算

80%80%100%多维离散型随机变量描述两个或多个离散型随机变量同时取值的概率分布。从多维离散型随机变量的联合分布中，可以得到其中任意一个随机变量的概率分布。在多维离散型随机变量中，当已知部分随机变量的取值时，其他随机变量的概率分布。联合分布边缘分布条件分布

03连续型随机变量及其分布

连续型随机变量可以在某一区间内取任意实数值，其取值是连续的。与离散型随机变量不同，连续型随机变量没有明确的取值概率，而是有一个概率密度函数来描述其在各个取值的可能性。连续型随机变量定义

正态分布指数分布均匀分布常见连续型随机变量分布指数分布通常用于描述等待时间、寿命等连续型随机变量的分布情况，其概率密度函数呈指数形式递减。均匀分布表示在某一区间内，连续型随机变量取各个值的概率相等。正态分布是连续型随机变量中最常见的一种分布，其概率密度函数呈钟形曲线，具有对称性和集中性。

期望与方差计算期望连续型随机变量的期望是其概率密度函数与自变量乘积的积分，表示随机变量的平均值。方差方差表示连续型随机变量取值的离散程度，计算公式为每个取值与期望之差的平方的平均值。

多维连续型随机变量多维连续型随机变量是指具有多个连续型随机变量的向量，其取值空间为多维空间。多维连续型随机变量的概率密度函数描述了各个分量同时取某一组值的概率密度，其期望、方差等性质可以通过对概率密度函数进行积分得到。

04随机过程简介

VS随机过程是一族随时间变化的随机变量，用于描述随机现象随时间的演变。随机过程的分类根据随机过程的性质，可以将其分为平稳过程、马尔可夫过程、鞅过程等。随机过程的定义随机过程定义及分类

马尔可夫链的定义01马尔可夫链是一种时间和状态都是离散的随机过程，具有“无后效性”，即未来状态只与当前状态有关，与过去状态无关。马尔可夫链的转移概率02表示从一个状态转移到另一个状态的概率，通常通过转移概率矩阵来描述。马尔可夫链的遍历性与周期性03遍历性指从任意状态出发，经过足够长的时间后，可以到达任意其他状态；周期性指马尔可夫链在一段时间内呈现出一种循环往复的行为。马尔可夫链基本概念

平稳过程是一种特殊的随机过程，其统计特性不随时间变化，即在不同时间点上的随机变量具有相同的分布。平稳过程的定义对于平稳过程，如果其均值和自相关函数满足一定条件，则时间平均和统计平均在概率意义上相等，即遍历性成立。遍历性定理在信号处理、控制系统等领域有广泛应用。遍历性定理平稳过程与遍历性定理