导数的定义与求导法则.pptx

导数的定义与求导法则汇报人：XX2024-02-04

目录导数概念引入导数基本性质常见函数求导公式高阶导数概念及计算隐函数与参数方程所确定函数求导方法曲线在某点切线方程和法线方程求解

01导数概念引入

在实际问题中，经常需要研究某个量相对于另一个量的变化率，如速度、加速度、密度等。变化率问题导数可以描述函数在某一点的局部性质，即函数在该点附近的变化趋势。局部性质实际问题背景

导数的几何意义是曲线在某一点的切线的斜率。通过求导数，可以得到函数图像上任意一点的切线方程。在物理学中，导数有着广泛的应用，如速度、加速度、力等物理量都可以通过求导数来得到。几何意义与物理意义物理意义几何意义

定义导数表示函数在某一点的变化率，即函数值随自变量变化的快慢程度。对于函数y=f(x)，其在x0处的导数记为f(x0)或y|x=x0。表示方法导数可以用符号“d/dx”表示，如f(x)可以表示为d/dx[f(x)]。同时，导数也可以用极限的形式定义，即f(x0)=lim(Δx-0)[f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx。导数定义及表示方法

02导数基本性质

导数存在条件函数在某点的极限存在即函数在该点处的左极限等于右极限。函数在该点附近可导即函数在该点的邻域内有定义，且其差商在该点处的极限存在。函数在该点连续即函数在该点处的极限值等于函数值。

加法法则：$(u+v)=u+v$，即两个可导函数的和的导数等于这两个函数的导数的和。减法法则：$(u-v)=u-v$，即两个可导函数的差的导数等于第一个函数的导数减去第二个函数的导数。乘法法则：$(uv)=uv+uv$，即两个可导函数的乘积的导数等于第一个函数乘以第二个函数的导数加上第二个函数乘以第一个函数的导数。除法法则：$(\frac{u}{v})=\frac{uv-uv}{v^2}$，即两个可导函数的商的导数等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子再除以分母的平方（分母不为0）。导数四则运算法则

链式法则如果$u=g(x)$在点$x$可导，$y=f(u)$在点$u=g(x)$可导，那么复合函数$y=f[g(x)]$在点$x$可导，且其导数为$y_x=y_ucdotu_x$或$frac{dy}{dx}=frac{dy}{du}cdotfrac{du}{dx}$。指数函数求导对于形如$y=e^u$的指数函数，其导数为$y=e^ucdotu$，其中$u$是关于$x$的可导函数。对数函数求导对于形如$y=ln{u}$的对数函数，其导数为$y=frac{u}{u}$，其中$u$是关于$x$的可导函数且$u0$。幂指函数求导对于形如$y=u^n$的幂指函数，其导数为$y=nu^{n-1}u$，其中$u$是关于$x$的可导函数。复合函数求导法则

03常见函数求导公式

常数函数幂函数正弦函数余弦函数基本初等函数求导公(f(x)=c)（c为常数），则(f(x)=0)若(f(x)=x^n)（n为实数），则(f(x)=nx^{n-1})(f(x)=sinx)，则(f(x)=cosx)(f(x)=cosx)，则(f(x)=-sinx)

三角函数求导公式(f(x)=tanx)，则(f(x)=sec^2x)(f(x)=cotx)，则(f(x)=-csc^2x)(f(x)=secx)，则(f(x)=secxtanx)(f(x)=cscx)，则(f(x)=-cscxcotx)正切函数余切函数正割函数余割函数

指数函数自然指数函数对数函数自然对数函数指数函数与对数函数求导公式若(f(x)=a^x)（a0,a≠1），则(f(x)=a^xlna)若(f(x)=log_ax)（a0,a≠1），则(f(x)=frac{1}{xlna})(f(x)=e^x)，则(f(x)=e^x)(f(x)=lnx)，则(f(x)=frac{1}{x})

04高阶导数概念及计算

函数y=f(x)的导数y=f(x)仍然是x的函数，如果把导数y=f(x)的导数也叫做函数y=f(x)的导数，就把这个导数叫做函数y=f(x)的二阶导数，记作y或f(x)，即d^2y/dx^2或d^2f/dx^2。高阶导数定义二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数，三阶导数可记作y或f(x)，四阶导数记作y或f(x)，以此类推。高阶导数表示方法高阶导数定义及表示方法

多项式函数01对于多项式函数f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0，其k阶导数公式为f^(k)(x)=n(n-1)...(n-k+1)a_nx^{n-k}。三角函数02对于正弦