函数的极值与最值的计算与应用.pptx

函数的极值与最值的计算与应用汇报人：XX2024-01-29

目录CONTENTS引言函数的最值计算方法应用举例总结与展望

01引言

函数在某一局部区域内的最大值或最小值，是函数在该区域内单调性发生变化的点。极值点可能是函数的驻点或不可导点。极值函数在给定区间上的最大值或最小值。最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值。最值函数的极值不一定是最值，但最值一定是极值或区间端点处的函数值。二者关系函数的极值与最值的概念

研究背景和意义函数的极值与最值广泛应用于各个领域，如物理、化学、工程、经济、金融等。在实际问题中，通过建立数学模型并求解极值与最值，可以有效地解决实际问题。应用领域在实际问题中，经常需要求解函数的最大值或最小值，如优化问题、经济学中的成本最小化或收益最大化等。背景研究函数的极值与最值有助于解决实际问题，为决策提供科学依据。同时，极值与最值也是数学分析中的重要概念，对于理解函数的性质和行为具有重要意义。意义

极值点的定义若函数在某点的函数值比其邻近点的函数值都大（或小），则该点为函数的极大值点（或极小值点）。极值的性质极值点处函数的一阶导数为零或不存在。极值的概念极值是指函数在某一局部区间内的最大值或最小值。极值的定义

一阶导数测试法通过求解函数的一阶导数，并令其等于零，找到可能的极值点。然后利用二阶导数测试法判断极值点的性质。二阶导数测试法在极值点处，若二阶导数大于零，则为极小值点；若二阶导数小于零，则为极大值点；若二阶导数等于零，则需要进一步判断。函数的单调性与极值通过判断函数的单调性，可以确定函数在某个区间内是否存在极值点。一元函数的极值

多元函数的极值定义与一元函数类似，多元函数在某点的函数值比其邻近点的函数值都大（或小），则该点为函数的极大值点（或极小值点）。偏导数测试法通过求解多元函数的偏导数，并令其等于零，找到可能的极值点。然后利用二阶偏导数测试法判断极值点的性质。Hessian矩阵与多元函数的极值在极值点处，若Hessian矩阵正定，则为极小值点；若Hessian矩阵负定，则为极大值点；若Hessian矩阵不定，则需要进一步判断。多元函数的极值

02函数的最值

最大值最小值最值的定义在给定区间内，若对于任意的$x$，都有$f(x)geqm$，且存在$x_0$使得$f(x_0)=m$，则称$m$为函数$f(x)$在给定区间上的最小值。在给定区间内，若对于任意的$x$，都有$f(x)leqM$，且存在$x_0$使得$f(x_0)=M$，则称$M$为函数$f(x)$在给定区间上的最大值。

若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上一定存在最大值和最小值。闭区间上连续函数一定有最大值和最小值利用最值定理可以求解一些实际问题，如求解函数的最大值或最小值点，以及求解函数在某个区间上的取值范围等。最值定理的应用闭区间上连续函数的最值定理

开区间上连续函数不一定有最大值和最小值若函数$f(x)$在开区间$(a,b)$上连续，则$f(x)$在$(a,b)$上不一定存在最大值和最小值。最值问题的求解方法对于开区间上的连续函数，可以通过求导找到可能的极值点，并结合函数的单调性来判断函数在给定区间上是否存在最大值或最小值。同时，也可以利用一些特殊的方法，如利用闭区间套定理等。开区间上连续函数的最值问题

03计算方法

导数法求极值一阶导数法通过求解函数的一阶导数，并令其等于零，找到可能的极值点。然后利用二阶导数测试判断极值点的性质（极大值、极小值或鞍点）。二阶导数法直接求解函数的二阶导数，并令其等于零，找到拐点。通过检查二阶导数的符号变化来确定函数的凹凸性，从而判断极值点的存在。

VS对于多元函数，通过求解各变量的偏导数，并令它们等于零，找到可能的极值点。然后利用二阶偏导数测试判断极值点的性质。拉格朗日乘数法在约束条件下求多元函数的极值时，可以引入拉格朗日乘数，构造拉格朗日函数。通过求解拉格朗日函数的一阶偏导数，找到可能的极值点。偏导数法偏导数法求多元函数极值

123牛顿法梯度下降法拟牛顿法数值方法求最值通过迭代计算函数的梯度，并沿着负梯度方向进行搜索，逐步逼近函数的最小值点。适用于大规模、非线性的优化问题。利用函数的二阶导数（海森矩阵）来逼近函数的最小值点。通过迭代计算海森矩阵的逆和梯度向量，不断更新变量的取值，直到满足收敛条件。在牛顿法的基础上引入拟牛顿条件，避免直接计算海森矩阵及其逆，提高了计算效率。常见的拟牛顿法有BFGS算法和L-BFGS算法等。

04应用举例

在经济学中的应用在经济学中，函数的极值点常常用来表示边际效应，如边际成本、边际收益等，从而帮助企业进行决策分析。弹性分析通过计算需求函数或供给函数的极值点，可以分析商品价格的变动对市场需求或供给的影响程度