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2024-02-03
函数的性质和变换
目
录
CONTENCT
函数基本概念回顾
函数的基本性质
函数的变换技巧
函数的图像与性质关系
典型函数类型及其性质总结
函数性质在实际问题中应用举例
01
函数基本概念回顾
01
02
03
04
05
01
02
03
04
定义域
值域
确定定义域
确定值域
根据函数的具体形式和实际意义，确定自变量的取值范围。
函数输出值的集合，即函数因变量y的取值范围。
函数的输入值的集合，即函数自变量x的取值范围。
通过观察函数图像或分析函数性质，确定因变量的取值范围。
01
单调性
函数在某一区间内单调增加或减少的性质。
02
单调增加
在区间内，随着自变量x的增大，函数值y也随之增大。
03
单调减少
在区间内，随着自变量x的增大，函数值y随之减小。
04
周期性
函数具有周期性变化的性质，即函数值在一定周期内重复出现。
05
周期函数
如正弦函数、余弦函数等，具有固定的周期T，满足f(x+T)=f(x)。
06
判断周期性
通过观察函数图像或分析函数表达式，判断函数是否具有周期性。
02
函数的基本性质
奇函数
偶函数
非奇非偶函数
对于所有在其定义域内的$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称函数$f(x)$为偶函数。例如，余弦函数$cos(x)$和绝对值函数$|x|$都是偶函数。
既不满足奇函数定义也不满足偶函数定义的函数，如指数函数$e^x$和对数函数$ln(x)$。
对于所有在其定义域内的$x$，都有$f(-x)=-f(x)$，则称函数$f(x)$为奇函数。例如，正弦函数$sin(x)$和正切函数$tan(x)$都是奇函数。
轴对称
中心对称
如果一个函数的图像关于某条直线对称，则称该函数具有轴对称性。例如，余弦函数$cos(x)$关于$y$轴对称。
如果一个函数的图像关于某个点对称，则称该函数具有中心对称性。例如，正弦函数$sin(x)$关于原点$(0,0)$对称。
有界函数
存在两个常数$m$和$M$，使得对于函数$f(x)$在其定义域内的所有$x$，都有$mleqf(x)leqM$，则称函数$f(x)$为有界函数。例如，在闭区间$[a,b]$上的连续函数都是有界函数。
无界函数
不满足有界函数定义的函数，如正切函数$tan(x)$在$x=frac{pi}{2}+kpi$（$k$为整数）处无界。
如果函数$f(x)$在点$x_0$处的极限值等于该点的函数值，即$lim_{xtox_0}f(x)=f(x_0)$，则称函数$f(x)$在点$x_0$处连续。如果函数在其定义域内每一点都连续，则称该函数为连续函数。
连续性
如果函数$f(x)$在点$x_0$处的导数存在，即极限$lim_{hto0}frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$存在，则称函数$f(x)$在点$x_0$处可导。如果函数在其定义域内每一点都可导，则称该函数为可导函数。
可导性
03
函数的变换技巧
水平平移
将函数图像在x轴方向上移动，左加右减，即$f(x+a)$表示将$f(x)$的图像向左平移$a$个单位，$f(x-a)$表示将$f(x)$的图像向右平移$a$个单位。
垂直平移
将函数图像在y轴方向上移动，上加下减，即$f(x)+a$表示将$f(x)$的图像向上平移$a$个单位，$f(x)-a$表示将$f(x)$的图像向下平移$a$个单位。
改变x的系数，实现对函数图像的横向拉伸或压缩。若$a1$，则$f(ax)$的图像比$f(x)$的图像横向压缩为原来的$1/a$；若$0a1$，则$f(ax)$的图像比$f(x)$的图像横向拉伸为原来的$1/a$。
横轴伸缩
改变函数值的系数，实现对函数图像的纵向拉伸或压缩。若$a1$，则$af(x)$的图像比$f(x)$的图像纵向拉伸为原来的$a$倍；若$0a1$，则$af(x)$的图像比$f(x)$的图像纵向压缩为原来的$a$倍。
纵轴伸缩
关于x轴对称
关于y轴对称
关于原点对称
若$f(x)$的图像关于x轴对称，则对于定义域内的任意x，都有$f(-x)=f(x)$。
若$f(x)$的图像关于y轴对称，则对于定义域内的任意x，都有$f(-x)=-f(x)$。
若$f(x)$的图像关于原点对称，则对于定义域内的任意x，都有$f(-x)=-f(x)$，且图像过原点。
复合变换是指对函数图像进行多种基本变换的组合。进行复合变换时，一般遵循“先伸缩、后平移”的原则，即先进行横向或纵向的伸缩变换，再进行平移变换。
对于形如$y=af[k(x-h)]+b$的复合函数，可以先将$x$替换为$k(x-h)$得到$y=af(t)+b$的图像，再通过对$t$进行伸缩和平移得到原函数的图像。其中
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