《常微分方程》理论教学大纲.doc

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《常微分方程》教学大纲

课程名称

常微分方程

课程代码课程性质及类别

性质：□通识教育课程□学科专业基础课程

?职业发展课程□教师教育课程

类别：?必修□选修

课程学分与学时

3学分/48学时

（课堂讲授48学时，实验实践0学时，自主学习0学时）

先修课程

数学分析、高等代数

适用专业

金融数学

开设学期

第4学期

课程教学目标于任务

《常微分方程概论》是金融数学专业必修的一门专业基础课，是数学分析和线性代数的后继课程。在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中，存在大量满足常微分方程关系式的数学模型，需要我们通过求解常微分方程来了解未知函数的性质，所以常微分方程是解决实际问题的重要工具。通过学习《常微分方程》，学生学习确定数学模型的思想方法，把数学理论和方法运用到解决实际问题中去，从而获得建立简单常微分方程模型与求解微分方程的知识。该课程在培养学生扎实的数学专业基础知识方面、在培养学生严谨的数学抽象思维能力方面，及在培养有志于在教育科研部门从事教学科研工作的应用型金融本科人才等方面起着重要作用。

通过本课程的学习，使学生具备下列能力：

1.了解《常微分方程》课程知识体系、微分方程的发展历史和前沿动态；理解微分方程中金融相关的数学模型，学习建立和解决确定性数学模型的思想方法，把数学理论和方法运用到解决实际问题中去；掌握各类常微分方程（组）的基本理论和解法，熟悉理解微分方程的存在唯一性定理。【毕业要求1】

2.使学生具有扎实的数学基础知识、数学运算能力和简单的数学建模能力。具备有效的学习方法与策略，具有一定的发现、辨析、质疑、创新能力，适应金融理论和实践快速发展的客观情况，与时俱进。【毕业要求2】

3.理解《常微分方程》课程的核心内涵，深入体会其人文素养，了解学校文化和教育活动的育人内涵和方法；从而使学生具备良好的政治素养，热爱祖国，有理想、有道德，愿为我国社会主义现代化建设服务；具有良好的专业素养和科学文化素养；具有谦虚、好学、诚实守信、忍耐、宽容等优良品质；具有较强的敬业精神和团队合作意识；具有良好的人际关系沟通能力；具有高尚的职业操守、职业道德和敬业精神。【毕业要求3】

二、教学内容与学时分配

第一章绪论(2学时)

一、本章重点、难点

1．教学重点：常微分方程阶数的定义、线性和非线性的定义、简单的数学模型的建立

2．教学难点:线性和非线性的定义、简单的数学模型的建立

二、主要内容及学时分配

1.常微分方程模型（1学时）人口模型；传染病模型；另外可补充：经济管理中的经济增长模型和供求关系的价格均衡模型，综合国力与经济调整模型等。

2．基本概念和常微分方程的发展历史（1学时）常微分方程基本概念：常微分方程和偏微分方程，线性和非线性，解和隐式解，通解和特解，积分曲线和方向场。常微分方程发展历史*

第二章一阶微分方程的初等解法（16学时）

第一节变量分离方程与变量变换（4学时）

一、本节重点、难点

1．教学重点：变量分离方程、齐次方程、分式线性方程的解法

2．教学难点：利用变量代换求解可化为变量分离方程的各类方程，通解的完善性。

二、主要内容及学时分配

1.变量分离方程（1学时）；

2.可化为变量分离方程的类型（齐次方程、分式线性方程）（3学时）。

第二节线性微分方程与常数变易法（2学时）

一、本节重点、难点

1．教学重点：线性微分方程的概念和解法；伯努利微分方程的概念和解法。

2．教学难点：常数变易法、伯努利微分方程通解的完善性。

二、主要内容及学时分配

1.线性微分方程（1学时）

2.伯努利微分方程（1学时）

第三节恰当微分方程与积分因子（6学时）

一、本节重点、难点

1．教学重点：恰当微分方程的判定与求解；积分因子。

2．教学难点：积分因子的求法，通解的完善性。

二、主要内容及学时分配

1.恰当微分方程（3学时）

2.积分因子（3学时）

第四节一阶隐式微分方程与参数表示（4学时）

一、本节重点、难点

1．教学重点：四种类型的一阶隐式微分方程的解法

2．教学难点：四种类型解法的分辨、第四种隐式微分方程通解的完善性。

二、主要内容及学时分配

1.可以解出y(或x)的方程（2学时）

2.不显含y(或x)的方程（2学时）

第三章一阶微分方程的解的存在定理（4学时）

一、本节重点、难点

1．教学重点：解的存在唯一性定理、微分方程解的近似计算和误差估计

2．教学难点：存在唯一性定理的证明、解的延拓。

二、主要内容及学时分配

1.解的存在唯一性定理与逐步逼近法（4学时）存在唯一性定理，近似计算和误差估计

2.解的延拓

第四章高阶微分方程（16学时）

线性微分方程的一般理论（4课时）

一、本节重点、