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（完整）数列通项公式的十种求法

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数列通项公式的十种求法

—、公式法例1已知数列｛。｝满足。=2a+3x2〃,a=2，求数列｛a｝的通项公式.

TOC\o"1-5"\h\zn n+1 n 1 n

解：a=2a+3x2n两边除以2〃+i,得Eg=土+3，则■-土=3，故数列｛^｝是以君=2=1为

n+1 n 2n+1 2n2 2n+12n2 2n 212

首项，以3为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得七=1+(n-1)3，所以数列｛a｝的通

2 2n 2 n

项公式为a=(3n-2)2n.

评注:本题解题的关键是把递推关系式an+

评注:本题解题的关键是把递推关系式a

n+1

=2a+3x2n转化为n

a a 3

―n+1 n=—

2n+12n2

说明数列§｝是等

差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出a=1+(n-1)3，进而求出数列｛a｝的通项公式。

2n 2 n

二、累加法例2已知数列｛叩满足an+1=a”+2n+1,匕=1,求数列｛叩的通项公式。

解：由a=a+2n+1得a-a=2n+1则

a=(a—a)+(a—a)++(a—a)+(a—a)+a

TOC\o"1-5"\h\znn n-1 n-1 n一2 3 2 2 1 1

=[2(n-1)+1]+[2(n-2)+1]++(2x2+1)+(2x1+1)+1

=2[(n-1)+(n-2)++2+1]+(n-1)+1

(n-1)n

=2———+(n-1)+1 ...

=(n-1)(n+1)+1 …

=n2

所以数列｛an｝的通项公式为。广n2。

评注：本题解题的关键是把递推关系式。“广an+2n+1转化为a-a=2n+1,进而求出

(a—a)+(a —a)++(a—a)+(a—a)+a，即得数列｛a｝的通项公式。

n n-1 n-1 n-2 3 2 2 1 1 n

例3已知数列｛a｝满足a=a+2x3n+1,a=3，求数列｛a｝的通项公式。n,?■n+1 n 1 n

a=(a—a)+(a—a)++(a—a)+(a—a)+ann n—1 n—1 n—2 3 2 2 1 1

=(2x3n-1+1)+(2x3n-2+1)+ +(2x32+1)+(2x31+1)+3

=2(3n-1+3n-2+ +32+31)+(n—1)+3

???

=23(1—3n—1)+(n—1)+3 …

1—3

=3n—3+n—1+3

=3n+n—1

所以a=3?+n—1.

评注：本题解题的关键是把递推关系式a=a+2x3n+1转化为a—a=2x3〃+1，

n+1 n n+1 n

进而求出

a=(a—a)+(a—a)+ +(a—a)+(a—a)+a,即得数列｛a｝的通项公式。

nn n—1 n—1 n—2 32 211 n

例4已知数列｛a｝满足a=3a+2x3〃+1,a=3，求数列｛a｝的通项公式。

n n+1??,n 1 n

解：a=

n+1 n

3a+2x3n+1两边除以3〃+1，得<*=土+-+—,

3n+1 3n 33n+1

则粉-5=—+白，故

a a a a

—n—1)+(—n—1——n—2)+(—n—2-a a 3n—2 3n—2

1n 2 n1 2 1

=(-+ )+(-+ )+(-+ )+

3/ 3 3n—1 3 3n-27

2(n—1) 11 1 1

= +(——+——+