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拉普拉斯变换的数学方法
第二章
内容摘要
01
复数和复变函数
复数和复变函数
拉氏变换与拉氏反变换的定义
典型时间函数的拉氏变换
2.单位脉冲函数
4.指数函数
5.正弦函数
6.余玄函数
7.幂函数
拉氏变换的性质
1.线性性质
拉氏变换是一个线性变换,已知函数f(1),f₂(1)的拉氏变换分别为F(s),F2(s),若有常数K,K,则L[Kf(t)+K,f₂(1)]=K,F(s)+K₂F₂(s)。
2.实数域的位值定理(延时定理)
若f(1)的拉氏变换为F(s),则对任意正实数a,有。f(t-a)是函数f(1)在时间上延迟了α秒的延时函数。当ta时,f(t-a)=0。
拉氏变换的性质
3.复数域的位移定理
若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任意常数a(实数或复数),有:
L[ef(4]=F(s+a)
4.微分定理
若时间函数f(t)的拉氏变换为F(s),且其一阶导函数f(t)存在,则为由正向使t→0时的f(t)值。
拉氏变换的性质
5.积分定理
设f(t)的拉氏变换为F(s),则式中,在t→0时的值。
6.初值定理
若函数f(t)及其一阶导数是可拉氏变换的,则函数f(1)的初值为即原函数f(t)在自变量t趋于零(从正向趋向于零)时的极限值,取决于其象函数F(s)的自变量s趋于无穷大时sF(s)的极限值。
拉氏变换的性质
7.终值定理
若函数f(t)及其一阶导数是可拉氏变换的,并且除在原点处有唯一的极点外,sF(s)在包含ja轴的右半s平面内是解析的(即当t→…时f(1)趋于一个确定的值),则函数f(t)的终值为。
8.卷积定理
若F(s)=L[f[1]],G(s)=L[g(1)],则有式中,积分,称为f(t)和g(t)的卷积。
拉氏变换的数学方法
已知象函数F(s),求原函数f(t)的方法如下:
(1)查表法,即直接利用常用时间函数的拉氏变换对照表,查出相应的原函数,这种方法适用于比较简单的象函数。
(2)有理函数法,它根据拉氏反变换的公式求解,由于公式中的被积函数是一个复变函数,所以须用复变函数中的留数定理求解。
(3)部分分式法,它是通过代数运算,先将一个复杂的象函数化为数个简单的部分分式之和,再分别求出各个分式的原函数,这样总的原函数即可求得。
(4)使用MatLab函数求解原函数。
拉氏变换的数学方法
拉氏变换的数学方法
其余系数的求法与F(s)无重极点的情况所述的方法相同,即
求得所有的待定系数后,F(s)的反变换为
2.使用MatLab函数求解原函数
利用MatLab函数residue完成原函数展开成部分分式,将原函数的有理分式的分子和分母多项式的系数作为输入数据,调用residue函数输出就是极点与部分分式中的常数,再查拉氏变换表就可得到原函数。
用拉氏变换解常微分方程
用拉氏变换方法解常微分方程,首先通过拉氏变换将常微分方程化为象函数的代数方程,进而解出象函数,最后由拉氏反变换求得常微分方程的解。
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