机械工程控制基础学习指导 课件 第二章 拉普拉斯变换的数学方法.pptx

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拉普拉斯变换的数学方法

第二章

内容摘要

01

复数和复变函数

复数和复变函数

拉氏变换与拉氏反变换的定义

典型时间函数的拉氏变换

2.单位脉冲函数

4.指数函数

5.正弦函数

6.余玄函数

7.幂函数

拉氏变换的性质

1.线性性质

拉氏变换是一个线性变换，已知函数f(1),f₂(1)的拉氏变换分别为F(s),F2(s),若有常数K,K,则L[Kf(t)+K,f₂(1)]=K,F(s)+K₂F₂(s)。

2.实数域的位值定理(延时定理)

若f(1)的拉氏变换为F(s),则对任意正实数a,有。f(t-a)是函数f(1)在时间上延迟了α秒的延时函数。当ta时，f(t-a)=0。

拉氏变换的性质

3.复数域的位移定理

若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任意常数a(实数或复数),有:

L[ef(4]=F(s+a)

4.微分定理

若时间函数f(t)的拉氏变换为F(s),且其一阶导函数f(t)存在，则为由正向使t→0时的f(t)值。

拉氏变换的性质

5.积分定理

设f(t)的拉氏变换为F(s),则式中，在t→0时的值。

6.初值定理

若函数f(t)及其一阶导数是可拉氏变换的，则函数f(1)的初值为即原函数f(t)在自变量t趋于零(从正向趋向于零)时的极限值，取决于其象函数F(s)的自变量s趋于无穷大时sF(s)的极限值。

拉氏变换的性质

7.终值定理

若函数f(t)及其一阶导数是可拉氏变换的，并且除在原点处有唯一的极点外，sF(s)在包含ja轴的右半s平面内是解析的(即当t→…时f(1)趋于一个确定的值),则函数f(t)的终值为。

8.卷积定理

若F(s)=L[f[1]],G(s)=L[g(1)],则有式中，积分,称为f(t)和g(t)的卷积。

拉氏变换的数学方法

已知象函数F(s),求原函数f(t)的方法如下：

(1)查表法，即直接利用常用时间函数的拉氏变换对照表，查出相应的原函数，这种方法适用于比较简单的象函数。

(2)有理函数法，它根据拉氏反变换的公式求解，由于公式中的被积函数是一个复变函数，所以须用复变函数中的留数定理求解。

(3)部分分式法，它是通过代数运算，先将一个复杂的象函数化为数个简单的部分分式之和，再分别求出各个分式的原函数，这样总的原函数即可求得。

(4)使用MatLab函数求解原函数。

拉氏变换的数学方法

拉氏变换的数学方法

其余系数的求法与F(s)无重极点的情况所述的方法相同，即

求得所有的待定系数后，F(s)的反变换为

2.使用MatLab函数求解原函数

利用MatLab函数residue完成原函数展开成部分分式，将原函数的有理分式的分子和分母多项式的系数作为输入数据，调用residue函数输出就是极点与部分分式中的常数，再查拉氏变换表就可得到原函数。

用拉氏变换解常微分方程

用拉氏变换方法解常微分方程，首先通过拉氏变换将常微分方程化为象函数的代数方程，进而解出象函数，最后由拉氏反变换求得常微分方程的解。

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