数列求和与递推公式.docx

数列求和

数列求和的常用方法

（1） 倒序相加法：类似于等差数列前n项和公式的推导方法；

（2） 分组求和法：适用于等差与等比数列相加减；

（3） 裂项相消法：适用于｛云9｝其中｛，｝是各项不为0的等差数列，c为常数；部分

nn+1

无理数列、含阶乘的数列等；

（4） 错位相减法：适用于^abn｝其中｛气｝是等差数列，b「是各项不为0的等比数列。

常用结论

(1)(2)疝=1+2++n二4

(1)

(2)

2

k=1

￡(2k-1)=1+3+5+ +(2n+1)=n2

k=1

1 _1 1

——

n(n+1) nn+1

i 弓磷而各个湛破二2

1、倒序相加

主要思想和等差数列求和一样，首末配对！【例口已知/⑴=1二°，则/⑴+/（2）+f⑶+f⑷+f少+f（3）+f（4）=【变式训练1】设治）=左，则/土）+/司+-+/^）的值为（）

4尤十2 11\1V 八11

A.5B.10C.15D.20

2、分组求和

【例2】已知数列｛气｝是3+2—1,6+22—1,9+23—1,12+24—1，…，写出数列｛气｝的通项公

式并求其前n项和Sn.

1 1 1

【变式训练2】求数列3+「6+丁，……，3n+厂的各项的和.

3 32 3n

裂项相消法

如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有:

①n(n+1)c1 =1(1__ )

①n(n+1)

c1 =1(1__ )

②n(n+k) Knn+k；

③n(n+2) 2nn+2

2n 1 1

④ = _

(2n+1)(2n+1+1) 2n+1 2n+1+1

1

n(n+1)(n+2)

=2[A一 ]

TOC\o"1-5"\h\zn1 1

——

(n+1)!n!(n+1)!

1 1 1 1 1 1 1

⑦适当放缩:—— — <—< = ——-

⑦适当放缩:

2(、n+1—'■in)=kk+1(k+1)kk2(k

2(、n+1—'■in)=

—2——==<~^< ~2 =2G'nfn_D

vn+\n+1 \n\n+\n_1

【例3】求和：

(1)a=1，求｛a｝的前n项和S；nn2+n n n

(2)a

n(2n_1)(2n+1)，

求｛aj的前n项和Sn；

(3)a

n

(3n-2)x(3n+1)求｛U的前〃项和￡；

(4)a

n

1

n(n+2)

，、 一3

求证：｛aj的前n项和Sn<-；

(5)a

n

求｛an｝的前120项和;

(

(6)a

n

(2n-1)(2n+1-1)求｛an｝的前n项和Sn；

(

(7)S

n

11

+ +

2x44x6

1

+

2n(2n+2).

(8)求1+ + + +?.十 ,(n&N*)

1+21+2+31+2+3+4 1+2+3+.+〃

错位相减法

2n-1+——2n【例4】（1）已知数列气=n-2n，求数列

2n-1

+——

2n

(2)求和S=77+丁+3+

n248

1、在数列｛叩中"〃=n和

，且sn=9，则n=

2、设｛a｝是公比为正数的等比数列，a=2,a=a+4.

TOC\o"1-5"\h\zn 1 3 2

⑴求｛an｝的通项公式；

(2)设｛b｝是首项为1,公差为2的等差数列，求数列｛。+b｝的前n项和，计.n nn n

3.设｛a｝是等差数列，｛b｝是各项都为正数的等比数列，且气=b=L气+b=21，n n 11 3 5

a+b=13.

(1)求｛an｝，｛bn｝的通项公式;

(2)求数列的前

(2)求数列

的前n项和Sn.

4.等差数列｛匕｝的各项均为正数，ai=3，前n项和为S-｛b｝为等比数列，b.=1

4.等差数列｛匕｝的各项均为正数，

bS=64,bS=960.

22 33

1+——sn⑴求an与

1+——

s

n

11

(2)求；+丁+ss

已知数列｛an｝的满足条件:(1)判断数列｛a+1｝是否为等比数列;

n

(2)若t=1,令c= ，记T=c+c++c，证明：①c=—— :②T<L

naan1 2n naa n

数列递推求通项三m新还旺玄至Ik'?

数列递推求通项

三m新还旺玄至Ik'?

1.an与S〃的关系：已知S〃，