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我的数学积木高中篇上

我的数学积木:高中篇上

2011年07月26日

向“723动车追尾事故”中遇难的同胞表示哀悼，愿逝者安息，生者早日康复，坚强地站起来。

我的数学积木:高中篇上

一到高中，感觉打开了一片新天地，同时也承担了新的压力(高考)。见到了许多新的老师和同学，高手多了，竞争更激烈了，感觉紧张又兴奋，最初还真有点不适应。拿数学来说吧，之前一直以为函数f(x)是f与x相乘呢，那个不知被老师说了多少遍的高中数学思想精髓“数形结合”，花了一段时间才能把握住要领。

高中最令我心喜的是学校图书馆对大家开放，不过每天开放时间相当短，周末闭馆。其实在初中时我偶然一次发现学校也有图书馆，只是从来没开放过。我们那个高中有两个馆，一个叫图书馆，一个叫阅览室。图书馆里放的是一些比较老的书，有的书比我岁数都大。阅览室里面是最新的报纸和杂志，如数学通报、数理天地、英语周报和半月谈等等。我多数时间泡在图书馆，偶尔去阅览室看看杂志。我喜欢看些古典的书(文理皆可)，特别是那些作者已经作古多年的(当然我也看流行的书，只是相对较少)。我总觉得时间是检验一本书内在价值的重要标准～而且，我感觉读老书比看新书有感觉，这人学数学同样也是需要感觉的。现在的我基本不在公开场合谈某些书内在质量的高低了(虽然自己内心中有把尺子)，每个人都有自己的看法，比起书的水平高低，哪本书最适合你的风格可能更重要。

由于自身条件所限，我看的书大都是半科普性的书，就数学方面有两本书印象挺深刻的，一本叫《一百个著名初等数学问题:历史和解》和《形形色色的曲线》。前者搜集了初等数学领域的一百个著名数学难题(多数只是问题初等，有些证明方法不一定初等)，如费马大定理n=3时的证明，代数基本

定理的证明，阿贝尔关于五次代数方程一般无求根公式的问题等，这本书所涉及内容可谓初等数学的一个高峰。个人感觉这本书难度很大，反正当时看起来相当吃力。《形形色色的曲线》一书就内容技术难度看，要低于前一本，但不少内容需要读者有单元微积分初步知识，门槛较高。我高一时通过抄书自学了单元微积分(有机会谈谈这段很有启发的经历)，所以得以欣赏此书。《曲线》这本小书很有意思，例如讲摆线的最速降线性，举了一个例子，两个滑道，一个是直线斜坡，另一个是曲线(摆线)斜坡，两条滑道起点和终点相同。现在有两个小孩分别从两个滑道滑下，哪个先到终点,答案是摆线滑梯的那个小孩先到，不过限于读者水平，书中没有给出摆线最速性的证明。摆线的等时性的例子可视小孩从摆线滑道不同高度处无初速度滑下，所用时间相同(不同高度，所用时间相同，真神奇～)。书中给出了摆线等时性的证明，要用到微积分知识(换元积分法)。书中还有其它曲线的例子，很是有趣，推荐大家看看。

后来我效仿《曲线》中提到的证明摆线等时性的方法来研究单摆问题，抛开5度角内小角近似假设来直接求所用时间。记得是计算一个积分，通过万能公式化成的积分里面含根号下四次多项式，当时想了不少方法，也没积出来(不敢问老师，怕被约谈说不务高考正业)。顺便说下，我是我们省新课程第一批试点，而我们在高一时还没收到上面的通知说新课程包含微积分。也就是说，自学微积分纯粹是爱好(实现初中的愿望)，没有其它想法。

时隔多年后我身在大学时才知道，当年遇到的那个含根号下四次多项式的积分叫“椭圆积分”，积不出来的(无法用有限个初等函数来表示)。当年我一直以为是脑子不够灵光，想不到那个“技巧”，才求不出来那个积分的。后来我发现，很多人认为数学就是逻辑+技巧，数学学不好就是因为脑子笨。不能说这种说法全错，但显然太过片面，大学数学老师乃至大师们也不会同意学数学就是逻辑+技巧这种说法的。顺便在提及一个事:我在很多论坛看到一些人询问椭圆周长怎么积分出来，答案是积不出来(涉及到椭圆积分)，应该把这个事实写到工科课本里(好一点的老师讲第一类曲线积分时会顺便提及的)。

既然谈到了微积分，那么先从解析几何谈起吧。微积分前传之解析几何与地图。

我读初中的时候，解析几何放在初三来讲，但令解析几何大放异彩的是在高中(特别是微积分那块内容)。至今我一直身为深刻但不高深的代表例子之一首推解析几何的发现。我在学习解析几何之前看了能有8年中国和世界

相当于经纬地图了，所以当我学习解析几何时我就下意识联想到了地图，坐标度，远点相当于本初子午线与赤道交点。现在回想起来有些奇怪，为何我当年没有悟出坐标系呢。

传说笛卡尔当年通过观察蜘蛛结网(视其为动点，不断移动，织出的网当作绘出的曲线等等)悟出坐标系的(最初为直角坐标系)，当然费马对此也有贡献。这样的故事类似牛顿的苹果落地故事，听听可以，最好别当真。任何有过数学研究或科研经历的人都知道，要想做出一件出色的工作是多么不容易，有时候可能还需要神的帮助。可以肯定笛卡尔和牛顿肯定是个勤于思考的人，苹果落地