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几何进阶立体几何

汇报人：XX

2024-02-05

立体几何基本概念与性质

平面与直线在空间中位置关系

曲面与曲线在空间中位置关系

立体图形表面积和体积计算方法

空间向量在立体几何中应用

空间解析几何初步认识

contents

目

录

01

立体几何基本概念与性质

点的位置关系

空间中两点确定一条直线，三点确定一个平面。

线的位置关系

直线与直线平行、相交或异面，直线与平面相交、平行或直线在平面内。

面的位置关系

平面与平面平行或相交，相交则形成一条交线。

若两直线分别与第三条直线平行，则这两直线平行；若一平面内的两条相交直线分别与另一平面平行，则这两平面平行。

若一直线与一平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；若两平面都垂直于第三个平面，则它们的交线与这两个平面都垂直。

垂直判定定理

平行判定定理

异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等角度的计算方法。

角度计算

点到直线的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离、两异面直线间的距离等距离的计算方法。

距离计算

柱体

包括圆柱、棱柱等，具有上下底面平行且相等、侧面为矩形的特点。

锥体

包括圆锥、棱锥等，具有一个顶点和一个与顶点不在同一平面的底面，所有侧面都是三角形的特点。

台体

包括圆台、棱台等，由两个相互平行且小于大底面的平面截一个锥体所得，上下底面平行且小于大底面，侧面为梯形的特点。

球体

空间中到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，具有各点距球心距离相等的特点。

02

平面与直线在空间中位置关系

03

平面方程的确定

根据已知条件（如三点共面、点法式等）列出方程组，求解得到平面方程。

01

平面方程的一般形式

Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C为平面法向量的分量，D为常数项。

02

法向量的求解

法向量n=(A,B,C)，可通过平面上不共线的三点或平面的点法式方程求解。

直线方程的一般形式

x/a=y/b=z/c或P(x,y,z)=P0(x0,y0,z0)+t(a,b,c)，其中a、b、c为直线的方向向量分量，P0为直线上一点，t为参数。

d=|Ax0+By0+Cz0+D|/sqrt(A^2+B^2+C^2)，其中(x0,y0,z0)为点的坐标，Ax+By+Cz+D=0为平面方程。

点到直线距离公式

将点的坐标和平面方程代入公式，计算得到点到平面的距离。

公式应用

平面与直线交点的求解

联立平面方程和直线方程，得到关于x、y、z的方程组，求解得到交点的坐标。

特殊情况处理

当平面与直线平行或重合时，方程组无解或有无穷多解，需根据具体情况进行判断和处理。

03

曲面与曲线在空间中位置关系

平面

柱面

旋转曲面

二次曲面

一般式方程Ax+By+Cz+D=0，点法式方程，两点式方程等。

一条平面曲线绕其所在的平面内的一条定直线旋转一周所生成的曲面，如球面、圆锥面等。

以直线为准线，母线平行于某一定直线的曲面，如圆柱面。

方程为二次的曲面，包括椭球面、双曲面、抛物面等。

在绘制空间曲线投影图之前，需要了解曲线的形状、走向和性质，以便更好地把握曲线的整体形态。

了解曲线的形状和性质

选择合适的投影面

注意投影的对应关系

利用辅助线和辅助面

根据曲线的特点，选择合适的投影面进行投影，使得投影图能够准确地反映曲线的形状和位置。

在绘制投影图时，需要注意各视图之间的对应关系，确保投影图的一致性和准确性。

为了更好地表达曲线的形状和位置，可以利用辅助线和辅助面来帮助绘制投影图。

参数方程法

如果曲面和曲线都可以用参数方程表示，那么可以将参数方程代入到另一个方程中，通过求解参数来得到交点的坐标。

联立方程法

将曲面和曲线的方程联立起来，通过求解方程组来得到交点的坐标。

数值解法

对于一些复杂的曲面和曲线，可能无法直接通过联立方程或参数方程来求解交点，这时可以采用数值解法，如牛顿迭代法等来逼近交点的位置。

法向量计算

对于给定的曲面方程，可以通过求偏导数得到曲面的梯度向量，即法向量。对于隐式方程表示的曲面，可以直接利用公式计算法向量；对于显式方程表示的曲面，则需要先将其转化为隐式方程再计算法向量。

切向量计算

切向量是与曲线或曲面在某一点处相切的向量。对于给定的曲线或曲面方程，可以通过求导数或偏导数来得到切向量。对于参数方程表示的曲线或曲面，则可以直接利用参数方程计算切向量。

04

立体图形表面积和体积计算方法

长方体表面积公式

正方体表面积公式

圆柱体表面积公式

球体表面积公式

01

02

03

04

2(ab+bc+ac)，其中a、b、c分别为长方体的长、宽、高。

6a^2，其中a为正方体的棱长。

2πrh+2πr^2，其中r为圆柱底面半径，h为高