数学建模最小二乘拟合实验.docx

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《数学建模期末实验作业》

院 系：数学学院

专 业：信息与计算科学年 级：2014级

试题编号：37

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胡克定律的综合评价分析

背景摘要：

利用一个打蛋器和一个物理学公式，毁掉一面六英寸厚的承重墙，这么天方夜谭的事你能相信吗？但它却真的发生了！

《越狱》这一电视剧相信很多人都耳熟，即使没看过里面的内容，但应该都曾经听过它的大名。在《越狱》第一季第六集中，Michael要通过地下管道爬到医务室的下面，但是一条重要通道是被封死的，因此必须要把这个封死的墙破坏掉，由于是混凝土结构，因此破坏起来很难，Michael从纹身上拓下魔鬼的画像，投影在掩住管道入口的墙上，用“胡克定律”计算出最佳位置，再用小巧的打蛋器在承重墙上钻出了几个小洞，最后借助这几个小洞毁掉了这堵承重墙。

相信大多数人都觉的很梦幻很不科学，但事实就是这样的令人惊讶。搜狐娱乐曾经报道过，有《越狱》粉丝不相信这一情节，在现实生活中进行实验，结果真的重现了“胡克定律”凿墙这一情节。

胡克定律的表达式为F=k·x或△F=k·Δx，其中k是常数，是物体的劲度

（倔强）系数。在国际单位制中，F的单位是牛，x的单位是米，它是形变量

（弹性形变），k的单位是牛/米。倔强系数在数值上等于弹簧伸长（或缩短）单位长度时的弹力。

弹性定律是胡克最重要的发现之一，也是力学最重要基本定律之一。在现代，仍然是物理学的重要基本理论。胡克的弹性定律指出：弹簧在发生弹性形变时，弹簧的弹力Ff和弹簧的伸长量（或压缩量）x成正比，即F=-k·x。k是物质的弹性系数，它由材料的性质所决定，负号表示弹簧所产生的弹力与其伸长（或压缩）的方向相反。

但当我们进行多次实验，便会发现随着F的逐步增大，便不再服从胡克定律。为此我们应当运用插值与拟合的内容，探索更加准确的公式。

一、建模问题

问题提出

问题背景

弹簧在压力F的作用下伸长x，一定范围内服从胡克定理：F与x成正比，即F=kx。现在得到下面一组F，x数据，并在（x，F）坐标下作图，可以看到

当F大到一定数据值后，就不服从这个定律了。

表1-1

X

1

2

4

7

9

12

13

15

17

F

1.5

3.9

6.6

11.7

15.6

18.8

19.6

20.6

21.1

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问题提出

试根据上述所给出的数据及已知的胡克公式，解决一下问题：

试由数据确定k

给出不服从胡克定理时的近似公式

问题分析

这是一道关于弹簧劲度系数的问题，对于此类建模有实际的价值，而且也可以让我们拓宽物理学习的视野，很有价值。

二、模型假设

通过阅读题目与查阅资料，我们可以发现，F的值是随着X的改变而改变的，当X小于某一值时，F遵循胡克定律，而当X大于某一值时，F便不再遵循胡克定律，故我们可以提出以下假设。

假设1：当X9时，F遵循胡克定律。假设2：当X9时，F不遵循胡克定律。

三、模型建立

已知胡克定律为：F=KX，但通过简单的计算题目中所给的数据，便会发现K的值并非固定值，我们可假设F=KX中还有第三个未知量S。

故建立模型公式：F=KX+S

运用数学建模与数学实验（第四版）7.4.1线性最小二乘拟合内容，在matlab程序上可进行求解。

四、符号说明

表4-1

符号名称

符号名称

fkx

S

符号含义

弹簧受到的压力数值弹簧的弹劲系数弹簧增加的距离

胡克定律中的未知数值

五、模型求解

解：

试由数据确定k输入以下程序：

x=[0 1 2 4 7 9 12 13 15 17];

f=[0 1.5 3.9 6.6 11.7 15.6 18.8 19.6 20.6 21.1];

k=f/x

可得结果：k=

1.4377

给出不服从胡克定理时的近似公式：输入以下程序：

x=[0 1 2 4 7 9 12 13 15 17];

f=[0 1.5 3.9 6.6 11.7 15.6 18.8 19.6 20.6 21.1];

a=polyfit(x,f,1)z=polyval(a,x);plot(x,f,k+,x,z,r)

运行结果：a=

1.3340 1.2678

可得图5-2-1：

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图5-2-1

通过图5-2-1，可以看到当弹簧伸长10个单位长度后，拟合的情况并不好，偏差较多，且用计算结果得出的公式F=1.3340X+1.2678与胡克定律也相差甚远，故可以根据图5-1，将十个数据分为两组来进行验算。

先取前六个数据的值进行线性拟合：输入程序：

x=[0 1 2 4 7 9];

f=[0 1.5 3.9 6.6 11.7 15.6];

a=polyfit(x,f,1)z=polyval(a