数学分析优秀教案十重积分.docx

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第二十一章 重积分

教学目的：1.理解并掌握二重积分的有关概念及可积条件，进而会计算二重积分；2.理解三重积分的概念，掌握三重积分的计算方法，并能应用其解决有关的数学、物理方面的计算问题；3.了解n重积分的有关概念及计算方法。

教学重点难点：本章的重点是重积分的计算和格林公式；难点是化重积分为累次积分。

教学时数：22学时

§ 1 二重积分概念

一. 矩形域上的二重积分:从曲顶柱体的体积引入.用直线网分割.

定义 二重积分.

例1 用定义计算二重积分.用直线网

分割该正方形,在每个正方形上取其右上顶点为介点.

解

.

二. 可积条件: D . 大和与小和.

Th1 , .

Th2 , .

Th3 在D上连续,Th4 设 ,

在D上可积.

为 上的可积函数.

D,

(或在D\ 上连续,则 在D上可积.

例2 P217ex2

三．一般域上的二重积分：

定义： 一般域上的二重积分.

可求面积图形: 用特征函数定义.四. 二重积分的性质:

D ).若 在D上有界,且

性质1 .

性质2 关于函数可加性.

性质3 则 在D上可积 在

和 可积,且 .

性质4 关于函数单调性.

性质5 .

性质6 .

性质7 中值定理.

Th 若区域D的边界是由有限条连续曲线( 或

)组成, 在D上连续,则 在D上可积.

例3 去掉积分中的绝对值.

§ 2 二重积分的计算

二. 化二重积分为累次积分:

矩形域 上的二重积分:用“体积为幂在势上的积分”推导公式.

简单域上的二重积分: 简推公式,一般结果]P219Th9.例1 , .

解法一 P221例3

解法二 为三角形,三个顶点为 ,

.

例2 , . P221例2.

例3 求底半径为 的两直交圆柱所围立体的体积. P222例4.

§ 3 Green 公式. 曲线积分与路径无关性

一. Green 公式:

闭区域的正面与边界正向的规定搭配:右手螺旋定向,即以右手拇指表示区域的正面(理解为拇指“站立在”区域的正面上), 则其余四指(弯曲)表示边界的正向. 右手螺旋定向法则还可表述为:人站立在区域的正面的边界上,让

区域在人的左方.则人前进的方向为边界的正向. 参阅P图21—10. 若以L

记正向边界,则用—L或L 表示反向（或称为负向）边界.

1. Green公式:

Th21.11 若函数P和Q在闭区域D则有

R 上连续,且有连续的一阶偏导数,

,

其中L为区域D的正向边界. (证) P224

Green公式又可记为 .

应用举例:

对环路积分,可直接应用Green公式. 对非闭路积分,常采用附加上一条线使变成环路积分的技巧.

例1 计算积分,其中A B .曲线AB为圆周在第一象限中的部分. P226例1

解法一(直接计算积分)曲线AB的方程为

.方向为自然方向的反向. 因此

.

解法二(用Green公式)补上线段BO和OA(O为坐标原点),成闭路.设所围

区域为D,注意到 D为反向,以及, 有

.

例2 计算积分I=,其中L为任一不包含原点的闭区域D

的边界(方向任意)P227例2

解导数).

.( 和 在D上有连续的偏

, .

于是, I= .

二. 曲线积分与路线无关性:

单连通域和复连通域.

积分与路径无关的等价条件: P228

Th21.12 设D R 是单连通闭区域. 若函数 和 在闭区域D内连续,且有连续的一阶偏导数,则以下四个条件等价:

ⅰ> 沿D内任一按段光滑的闭合曲线L,有 .

ⅱ> 对D内任一按段光滑的曲线L,曲线积分只与曲线L的起点和终点有关.

与路径无关,

ⅲ> 是D内某一函数 的全微分,即在D内有

.

ⅳ> 在D内每一点处有.

恰当微分的原函数:

若有,则称微分形式 是一个恰当微分.恰当微分有原函数,(它的一个)原函数为:

.

或

其中点

验证第一式:

D,当点 D时,常取 = .=

;

.

例6 验证式

P231例4

是恰当微分,并求其原函数.

. § 4 二重积分的变量变换:（4时）

二重积分的变量变换公式: 设变换 的

Jacobi ,则

,

其中 是在该变换的逆变换 下 平面上的区域 在

平面上的象. 由条件

一般先引出变换

.而

, 这里的逆变换是存在的.

,由